C++笔记: 二叉树与自平衡

二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种常见的数据结构，它是一棵二叉树，其中每个节点存储一个键值，且满足以下性质：

通过这种结构，我们可以利用BST进行高效的插入、查找、删除等操作。

下面举个例子来说明，考虑以下二叉搜索树：

这棵树满足上述性质，例如，对于节点3而言，左子树中的所有节点（2和4）的键值小于3，右子树中的节点（空）的键值大于3。

自平衡是指在对二叉搜索树进行插入或删除等操作时，保持树的平衡性，即树的左右子树的高度差不超过一个预设的值。

为什么需要自平衡呢？如果二叉搜索树不进行自平衡操作，可能会出现树的不平衡情况，导致某一边的子树过于庞大，从而降低了树的效率，使得查询、插入和删除等操作的时间复杂度变差。

常见的自平衡二叉搜索树有红黑树、AVL树等。这些树结构通过特定的插入和删除算法，在进行节点操作后，保持树的平衡性。

举个例子，考虑一个普通的二叉搜索树：

如果我们不进行自平衡操作，继续插入值为5的节点，那么它最终会成为树的右子树中的一个叶子节点，此时树的不平衡性就会显现出来。而通过自平衡算法，例如红黑树的旋转操作，可以调整树的结构，使其保持平衡。

红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，它在C++中广泛应用于实现关联容器（如map、set等）。

红黑树的特点和性质如下：

红黑树通过这些性质保证了树的平衡，防止出现过长的路径，以保证查找、插入、删除等操作的高效性能。

在C++中，红黑树通常通过节点结构体和指针来实现。每个节点包含一个键值对，以及指向左子节点、右子节点和父节点的指针。另外，还需要记录每个子树中黑色节点的数量。

红黑树提供了一系列的操作，包括插入、删除、查找最小值、查找最大值、查找给定值、前驱节点、后继节点等。这些操作都需要遵循红黑树的性质，并通过旋转和变色等操作来保持树的平衡。

在C++标准库中，红黑树被广泛应用于map、set等容器的实现。它具有较好的查找、插入、删除等操作的平均时间复杂度为O(logn)，并可以保持有序性和唯一性。

红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，它通过旋转和变色等操作来维持树的平衡。这些操作包括左旋、右旋、变色。

左旋（Left Rotation）：左旋操作将当前节点的右子节点提升为当前节点的父节点，同时当前节点成为其右子节点的左子节点。这个操作用于解决红黑树在插入或删除节点后可能破坏了红黑树的性质。

下面是一个示例：

右旋（Right Rotation）：右旋操作与左旋相反，将当前节点的左子节点提升为当前节点的父节点，同时当前节点成为其左子节点的右子节点。右旋也用于解决红黑树在插入或删除节点后可能破坏了红黑树的性质。

下面是一个示例：

下面是一个示例：

         变色前:
           A (黑)
          / \
    (红) B   C (红)

         变色后:
           A (黑)
          / \
    (黑) B   C (黑)

这些旋转和变色操作的目的是保持红黑树的平衡和性质。它们通常在插入或删除节点后用于调整树的结构，以确保红黑树仍然满足以下性质：

通过这些操作，红黑树能够保持平衡，实现高效的查找、插入和删除操作。