标定

相机标定

已知内参和外参求单应性矩阵

• 已知两个相机的内参K1,K2
• 同时假设没有畸变
• 已知相机2到相机1的外参R12和t12
• 设定世界坐标系与相机2的直角坐标系重合
• 计算世界坐标系下的平面上的点\( n^T*P_w+d=0 \) 在cam2的投影到cam1的投影的H

公式推导如下：

$$ s_1*p_1=K_1*(R_1*P_w+t_1) \\ s_2*p_2=K_2*(R_2*P_w+t_2) \\ $$

由于世界坐标系与相机2的坐标系重合，可知

$$ R_1=R_{12} \\ t_1=t_{12} \\ R_2=E \\ t_2=0 $$

所以可以得到

$$ s_1*p_1=K_1*(R_{12}*P_w+t_{12}) \\ s_2*p_2=K_2*P_w \\ $$

已知

$$ n^T*P_w+d=0 $$

可得

$$ 1=-n^T*P_w/d $$

变形

$$ s_1*p_1=K_1*(R_{12}*P_w+t_{12}) \\ s_1*p_1=K_1*(R_{12}*P_w+t_{12}*1) \\ s_1*p_1=K_1*(R_{12}*P_w+t_{12}*(-n^T*P_w/d)) \\ s_1*p_1=K_1*(R_{12}+t_{12}*(-n^T/d))*P_w \\ $$

同时可由

$$ s_2*p_2=K_2*P_w \\ $$

计算出

$$ P_w=s_2*K_2^{-1}p_2 \\ $$

代入上式

$$ s_1*p_1=K_1*(R_{12}+t_{12}*(-n^T/d))*P_w \\ s_1*p_1=K_1*(R_{12}+t_{12}*(-n^T/d))*s_2*K_2^{-1}p_2 \\ s_1/s_2*p_1=K_1*(R_{12}+t_{12}*(-n^T/d))*K_2^{-1}*p_2 \\ H_{12}=K_1*(R_{12}+t_{12}*(-n^T/d))*K_2^{-1} $$

H的结果还需要进行单位化，来满足单应性的数学性质