什么是退火算法

退火算法 是一种启发式优化算法，灵感来源于金属退火过程。在金属退火中，将金属加热到高温然后逐渐冷却，以消除内部结晶缺陷，使其达到更稳定的状态。类比于优化问题，退火算法通过模拟这个过程，从一个高温状态开始，逐渐减小温度，使系统跳出局部最小值，最终趋向全局最优解。

基本思想：

1. 初始化： 随机生成初始解。
2. 温度控制： 引入温度参数，控制在一定范围内。
3. 接受准则： 根据一定准则（如Metropolis准则），接受或拒绝新解。
4. 降温策略： 逐渐降低温度，减小接受新解的概率。
5. 收敛： 当温度足够低或者满足停止条件时，算法收敛，返回当前解。

算法流程：

1. 初始化： 随机生成初始解 $x$。
2. 重复迭代过程：
   a. 产生当前解的邻域解 $x'$。
   b. 计算目标函数值差 $\Delta f = f(x') - f(x)$。
   c. 若 $\Delta f < 0$，接受 $x'$ 作为新解；否则，以概率 $e^{-\Delta f/T}$ 接受 $x'$。
   d. 更新当前解为 $x'$。
   e. 降低温度 $T$。
   f. 重复直至满足停止条件。

示例：
考虑一个简单的旅行商问题（TSP），目标是找到一条路径，使得访问每个城市一次，总路径长度最短。

import numpy as np

# 生成城市坐标
np.random.seed(42)
num_cities = 10
cities = np.random.rand(num_cities, 2)

# 计算路径长度
def calculate_distance(path, cities):
    distance = 0
    for i in range(len(path) - 1):
        distance += np.linalg.norm(cities[path[i]] - cities[path[i+1]])
    distance += np.linalg.norm(cities[path[-1]] - cities[path[0]])  # 回到起点
    return distance

# 退火算法
def simulated_annealing(cities, max_iterations=1000, initial_temperature=1000, cooling_rate=0.95):
    num_cities = len(cities)
    current_path = np.arange(num_cities)
    np.random.shuffle(current_path)
    current_distance = calculate_distance(current_path, cities)

    best_path = np.copy(current_path)
    best_distance = current_distance

    temperature = initial_temperature

    for iteration in range(max_iterations):
        new_path = np.copy(current_path)
        i, j = np.random.choice(num_cities, size=2, replace=False)
        new_path[i], new_path[j] = new_path[j], new_path[i]
        new_distance = calculate_distance(new_path, cities)

        delta_distance = new_distance - current_distance

        if delta_distance < 0 or np.random.rand() < np.exp(-delta_distance / temperature):
            current_path = np.copy(new_path)
            current_distance = new_distance

            if current_distance < best_distance:
                best_path = np.copy(current_path)
                best_distance = current_distance

        temperature *= cooling_rate

    return best_path, best_distance

# 运行算法
best_path, best_distance = simulated_annealing(cities)

print("最优路径：", best_path)
print("最短路径长度：", best_distance)

在这个示例中，我们使用退火算法求解TSP问题。算法通过随机交换城市的顺序来生成新解，根据Metropolis准则接受或拒绝新解。随着温度的降低，接受概率减小，最终趋向全局最优解。