三角函数章节大总结

【第四章知识结构图】

一、基础知识总结

1.1诱导公式

1.1.1 A组

$$ sin(a+2k*pi)=sina $$

$$ cos(a+2k*pi)=cosa $$

$$ tan(a+2k*pi)=tana $$

1.1.2 B组

$$ sin(a+pi)=-sina $$

$$ cos(a+pi)=-cosa $$

$$ tan(a+pi)=tana $$

1.1.3 C组

$$ sina=-sin(-a) $$

$$ cosa=cos(-a) $$

$$ tana=-tan(-a) $$

1.1.4 D组

$$ sin(pi-a)=sina $$

$$ cos(pi-a)=-cosa $$

$$ tan(pi-a)=-tana $$

1.1.5 E组

$$ sin(pi/2-a)=cosa $$

$$ cos(pi/2-a)=sina $$

$$ sin(pi/2+a)=cosa $$

$$ cos(pi/2-a)=-sina $$

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1.2三角函数的图像与性质

1.2.1三角函数的图像

• 这是正弦函数图像的代码

  import matplotlib.pyplot as plt
  import numpy as np
  
  x = np.linspace(-3*np.pi, 3*np.pi, 100)
  y = np.sin(x)
  
  plt.plot(x, y, label="y = sin(x)")
  
  x = np.linspace(-3*np.pi, 3*np.pi, 5)
  y = [0, 0, 1, -1, 0]  # 五点法选取的点的y值
  plt.plot(x, y, "bo", label="五点法")
  
  plt.title("正弦函数图像")
  plt.xlabel("x")
  plt.ylabel("y")
  plt.legend()
  plt.grid()
  plt.show()

• 这是余弦函数图像的代码

  import matplotlib.pyplot as plt
  import numpy as np
  
  x = np.linspace(-3*np.pi, 3*np.pi, 100)
  y = np.cos(x)
  
  plt.plot(x, y, label="y = cos(x)")
  
  x = np.linspace(-3*np.pi, 3*np.pi, 5)
  y = [1, 1, 0, -1, 1]  # 五点法选取的点的y值
  plt.plot(x, y, "bo", label="五点法")
  
  plt.title("余弦函数图像")
  plt.xlabel("x")
  plt.ylabel("y")
  plt.legend()
  plt.grid()
  plt.show()

• 这是正切函数图像的代码

  import matplotlib.pyplot as plt
  import numpy as np
  
  x = np.linspace(-3*np.pi, 3*np.pi, 100)
  y = np.tan(x)
  
  plt.plot(x, y, label="y = tan(x)")
  
  x = np.linspace(-3*np.pi, 3*np.pi, 5)
  y = [0, 1, -1, 0]  # 五点法选取的点的y值
  plt.plot(x, y, "bo", label="五点法")
  
  plt.title("正切函数图像")
  plt.xlabel("x")
  plt.ylabel("y")
  plt.legend()
  plt.grid()
  plt.show()

1.2.2三角函数的性质

1.2.3一些补充说明

虽然上面两幅图已经很好的总结了三角函数的图像与性质，但是在此我还有一些说明。

• 如果我们有一个标准的三角函数，即\( y=A*f(wx+Φ) \).
  那么，这个函数的周期有如下表达式\( T=2*pi/|w| \).
  特殊地，对于类正切函数，这个表达式将会变成 \( T=pi/|w| \).
• 三角函数\( y=A*f(wx+Φ) \)可以看作由\( y=fx \)经过图像变换得到的。不过，需要注意的是，如果式子中\( w \)不为1，那么函数实际移动的距离将会缩减为\(Φ/w \).
• 对于三角函数\( y=A*f(wx+Φ) \)，如果\( w \)是负数，那么我们需要根据诱导公式将它们转化成正数.

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1.3三角恒等变换

1.3.1 两角和与差的三角函数公式

1.3.1.1 两角和与差的正弦公式

$$ sin(a+β)=sina*cosβ+sinβ*cosa $$

$$ sin(a-β)=sina*cosβ-sinβ*cosa $$

1.3.1.2 两角和与差的余弦公式

$$ cos(a+β)=cosa*cosβ-sina*sinβ $$

$$ cos(a-β)=cosa*cosβ+sina*sinβ $$

1.3.1.3 两角和与差的正切公式

$$ tan(a+β)=tana+tanβ/(1-tana*tanβ) $$

$$ tan(a-β)=tana-tanβ/(1+tana*tanβ) $$

1.3.2 二倍角的正弦、余弦、正切公式

$$ sin(2a)=2sina*cosa $$

$$ cos(2a)=power(cosa)-power(sina) $$

$$ tan(2a)=2tana/(1-power(tana)) $$

• 【导出式】
  升幂公式：

  $$ cos(2a)=2*power(cosa)-1 $$

  $$ cos(2a)=1-2*power(sina) $$

  降幂公式：

  $$ power(cosa)=(1+cos2a)/2 $$

  $$ power(sina)=(1-cos2a)/2 $$

• 注意tan(45°)=1这个条件，这是“1”的妙用
• 三角函数求值具有“知一求二”的特点

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二、题型分类总结

2.1诱导公式的题型

1. 化简求值 299-13、300-14、302-12

2. 知一求一 299-2、299-8、303-8

   • 求角度
   • 求另一个函数表达式

   或者是这样：

   • 含参
   • 不含参
3. 特殊背景下比较大小 299-4 299-6
4. 三角函数的原理与基础 301-3 302-14
5. 恒等式与恒成立问题 301-6 302-13
6. 新定义函数运算 303-7
7. 证明函数式相等关系
8. 综合题 304-14 304-12
   总的来说，只有两类，一类含参（逆用），另一类不含参（正用）。综合体不过是几个题型结合在一起出题，新定义问题不过是特殊背景下的某个题型，万变不离其宗。

2.2三角函数的图像与性质

1. 图像直接考察 305-1 305-3

   • 比较图像位置关系
   • 两函数交点 306-14 306-16
   • 画图
2. 五点法画图 305-2

3. 求范围值域 305-8 319-3

   • 正用 305-8
   • 逆用 319-3
4. 求值 307-4
5. 新定义运算 307-8
6. 直接考察性质307-6 309-9
7. 根据描述写出解析式或性质 308-14 312-11
8. 根据条件解出函数系数 310-12
9. 综合题 312-15。
   **总的来说，每种题型都有可能出正用或逆用题。不过，3、4、5、6基本属于正用题型，直接考察，比较简单；7、8属于逆用题范畴，对此我们正着做即可破解

2.3三角恒等变换题型

1. 有条件求值 315-2
2. 无条件求值 315-1
3. 给函数值求角度 315-5
4. 化简复杂函数
5. 新定义运算 317-8
6. 已知与结论的逻辑必然性 322-13
   这里，1、2、4偏向正用题型，3、6属于逆用。

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三、思维角度总结

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四、知识补充

• 注意三角函数值与二次函数的解结合时，要使用韦达定理，这也是优化思维的应用之一。

• 任意角公式

  $$ power(sina)+power(cosa)=1 $$

$$ tana=sina/cosa $$

$$ p(m,n): sina=n/sqrt(power(m)+power(n)) $$

$$ cosa=m/sqrt(power(m)+power(n)) $$

$$ tana=n/m $$

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附件1：(总结版)高一数学“两角和与差的三角函数公式+诱导公式”错题本-PDF版(E盘)
附件2：高一数学《步步高》练透练习册-纸版