算法进阶——数据流中的中位数

题目

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如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。我们使用Insert()方法读取数据流，使用GetMedian()方法获取当前读取数据的中位数。

数据范围：数据流中数个数满足 1≤n≤1000 ，大小满足 1≤val≤1000 。

进阶： 空间复杂度O(n)， 时间复杂度O(nlogn)

示例1

输入：
[5,2,3,4,1,6,7,0,8]
返回值：
"5.00 3.50 3.00 3.50 3.00 3.50 4.00 3.50 4.00 "
说明：
数据流里面不断吐出的是5,2,3...,则得到的平均数分别为5,(5+2)/2,3...   

示例2

输入：
[1,1,1]
返回值：
"1.00 1.00 1.00 "

思路

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本题是对顶堆算法的一个经典题，所谓对顶堆算法，实际上就是使用一个小顶堆和一个大顶堆（C++中的priority_queue）。

对于求动态中位数的问题，利用堆的性质，可以在O(nlogn)的时间复杂度取出最大值或最小值，那么我们可以用大顶堆维护前一半的数，用小顶堆维护后面一半的数。

规定若元素总数为奇数，那么大顶堆的元素个数要比小顶对的个数多1，这样，当总数为奇数时，中位数就是大顶堆的堆顶元素；当总数为偶数时，中位数就大顶堆堆顶和小顶堆堆顶元素的平均值。

具体做法是，在每次输入的时候将数字先加入大顶堆，大顶堆排序后，将大顶堆的最大值弹出加入小顶堆，小顶堆在进行排序。为了保持规定中的平衡，如果大顶堆的大小小于小顶堆，则需要弹出小顶堆的最大值加入大顶堆。

解答代码

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#include <queue>
class Solution {
public:
    priority_queue<int> max_top_heap; // 大顶堆，存较小的值
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> min_top_heap; // 小顶堆，存较大的值

    void Insert(int num) {
        max_top_heap.push(num);
        min_top_heap.push(max_top_heap.top());
        max_top_heap.pop();

        if (max_top_heap.size() < min_top_heap.size()) {
            max_top_heap.push(min_top_heap.top());
            min_top_heap.pop();
        }
        
    }

    double GetMedian() { 
        int size = max_top_heap.size() + min_top_heap.size();
        if ((size&1) == 1) {
            // 奇数
            return static_cast<double>(max_top_heap.top());
        } else {
            // 偶数
            return static_cast<double>(
                (max_top_heap.top() + min_top_heap.top()) / 2.0);
        }
    }

};