八个灯泡的问题

八个灯泡的问题

假设一条电线上串联了8个灯泡x1,x2,…,x8,这8个灯泡损坏的可能性是等概率的,假设有也只有一个灯泡损坏,用万用表去测量,获得足够的信息量,才能获知和确定哪个灯泡xi损坏。下面就来看我们最少需要获得多少信息量才能判断出？

使用信息熵的方法来解决这个问题，我们需要计算在不知道哪个灯泡损坏的情况下，所需的最小信息量，即熵。信息熵是衡量信息不确定性的一种度量，它的单位是比特（bit）。
在这个问题中，我们有8个灯泡，每个灯泡损坏的概率都是1/8（等概率）。我们需要知道哪个灯泡损坏，这相当于我们需要知道一个8位二进制数中的哪一个位是1（即哪一个灯泡损坏）。
对于一个8位二进制数，总的可能性有2^8 = 256种。由于每个灯泡损坏的概率相等，每个状态出现的概率都是1/256。在这种情况下，每个灯泡损坏所对应的状态的信息熵可以通过以下公式计算：

其中，H 是信息熵，pi是第 i 个状态出现的概率，n 是状态的总数。
对于我们的问题，n=256且pi=1/256 ,对于所有的i。将这些值代入公式中，我们得到：

因此，所需的最小信息量（信息熵）是8比特。这意味着我们需要至少8个比特的信息来确定哪一个灯泡损坏，这在信息论中是最佳的情况。