kosaraju 算法

以前学习了算法，但是因为没有记录下来，最近又要重新开始学习了，这次就将我的学习经历汇总成文章，记录下来。

科萨拉朱算法（英语：Kosaraju's algorithm），也被称为科萨拉朱—夏尔算法，是一个在线性时间内寻找一个有向图 "图 (数学)")中的强连通分量的算法。

首先我们需要知道几个概念

有向图

边为有方向的图称作有向图（英语：directed graph或digraph）。

有向图的一种比较严格的定义是这样的：一个二元组$ G=(V,E) $，其中

$ V $是节点的集合；
$ {\displaystyle E\subseteq {(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\wedge x\neq y}} $是边（也称为有向边，英语：directed edge或directed link；或弧，英语：arcs）的集合，其中的元素是节点的有序对。

下图是一个简单的有向图：

强连通分量

有向图中，尽可能多的若干顶点组成的子图中，这些顶点都是相互可到达的，则这些顶点成为一个强连通分量。

其实求解强连通分量的算法并不止一种，除了Kosaraju之外还有大名鼎鼎的Tarjan算法可以用来求解。但相比Tarjan算法，Kosaraju算法更加==直观==，更加==容易理解==。

DFS 生成树

先来了解 DFS 生成树，我们以下面的有向图为例：

有向图的 DFS 生成树主要有 4 种边（不一定全部出现）：

树边（tree edge）：示意图中以黑色边表示，每次搜索找到一个还没有访问过的结点的时候就形成了一条树边。
反祖边（back edge）：示意图中以红色边表示（即 $ 7 \rightarrow 1 $），也被叫做回边，即指向祖先结点的边。
横叉边（cross edge）：示意图中以蓝色边表示（即 $ 9 \rightarrow 7 $），它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过的结点，但是这个结点 并不是 当前结点的祖先。
前向边（forward edge）：示意图中以绿色边表示（即 $ 3 \rightarrow 6 $），它是在搜索的时候遇到子树中的结点的时候形成的。

这是使用 js 实现的一个简单的 DFS：

const depth1 = (dom, nodeList) => {
    dom.children.forEach((element) => {
        depth1(element, nodeList) 
    }) 
    nodeList.push(dom.name) 
}

我们考虑 DFS 生成树与强连通分量之间的关系。

如果结点 $ u $ 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 $ u $ 为根的子树中。结点 $ u $ 被称为这个强连通分量的根。

反证法：假设有个结点 $ v $ 在该强连通分量中但是不在以 $u$ 为根的子树中，那么 $ u $ 到 $ v $ 的路径中肯定有一条离开子树的边。但是这样的边只可能是横叉边或者反祖边，然而这两条边都要求指向的结点已经被访问过了，这就和 $ u $ 是第一个访问的结点矛盾了。得证。

Kosaraju 算法

该算法依靠两次简单的 DFS 实现：

第一次 DFS，选取任意顶点作为起点，遍历所有未访问过的顶点，并在回溯之前给顶点编号，也就是后序遍历。

第二次 DFS，对于反向后的图，以标号最大的顶点作为起点开始 DFS。这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量。对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程。

两次 DFS 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 $ O(n+m) $ 。

这里利用下网上的算法，简单表示一下：

N = 7
graph, rgraph = [[] for _ in range(N)], [[] for _ in range(N)]
used = [False for _ in range(N)]
popped = []


# 建图
def add_edge(u, v):
    graph[u].append(v)
    rgraph[v].append(u)


# 正向遍历
def dfs(u):
    used[u] = True
    for v in graph[u]:
        if not used[v]:
            dfs(v)
    popped.append(u)


# 反向遍历
def rdfs(u, scc):
    used[u] = True
    scc.append(u)
    for v in rgraph[u]:
        if not used[v]:
            rdfs(v, scc)
            
# 建图，测试数据         
def build_graph():
    add_edge(1, 3)
    add_edge(1, 2)
    add_edge(2, 4)
    add_edge(3, 4)
    add_edge(3, 5)
    add_edge(4, 1)
    add_edge(4, 6)
    add_edge(5, 6)


if __name__ == "__main__":
    build_graph()
    for i in range(1, N):
        if not used[i]:
            dfs(i)

    used = [False for _ in range(N)]
    # 将第一次dfs出栈顺序反向
    popped.reverse()
    for i in popped:
        if not used[i]:
            scc = []
            rdfs(i, scc)
            print(scc)

动画演示

动画演示和标准的 Kosaraju 算法有点不一样：它是先 DFS 遍历顶点得到逆后序排序，然后再将有向图置为反向图，按照逆后序排序取出顶点，深度优先搜索反向图。结果和 Kosaraju 算法一致。

kosaraju 算法

有向图

强连通分量

DFS 生成树

Kosaraju 算法

动画演示

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