位运算的妙用

在学习算法过程中，第一次接触到了位运算异或及其一些用法，感觉非常妙，写一篇文章来整理一下。

异或：

性质：a^a=0;
     a^0=a;
     满足交换律和结合律

下面我们来看一道妙用异或的题：

• 给定一个数组，这个数组中有一个数字出现过奇数次，而其他数字出现过偶数次，找出这个数字。

• 思路：根据异或的结合律，可以将数组中所有数字从头到尾进行异或，偶数次的数字两两异或为0，最后只剩下出现奇数次的数字。

  public static int xor(int[] arr) {
        int eor = 0;
        for (int i : arr) {
            eor ^= i;
        }
        return eor;
    }

下面我们看一下这道题的升级版

• 给定一个数组，其中有两个出现奇数次的数字，其余均出现偶数次，找出这两个数字。
• 思路：同样根据异或的结合律，把数组从头到尾异或一遍，这里假设两个奇数次数字为a和b，则异或结果eor=a^b，a和b一定不相等，则eor一定不为零，则eor至少有一位为1，假设是第n位（选择eor中最靠右的那个1，原因后面会说明），下面，根据第n位，对整个数组进行分类。

第n位为0	第n位为1
部分偶数次数	部分偶数次数
a	b

于是，我们可以对某一类进行全部异或，比如在第n位为1类上进行异或，最后结果为eor1=b，另一个数b自然可通过eor^eor1得到。

public static int[] xor2(int[] arr) {
        int eor = 0;
        for (int i : arr) {
            eor ^= arr[i];        //->  eor = a^b
        }
        int rightOne = eor & (~eor + 1);
        int eor1 = 0;
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            if ((arr[i] & rightOne) == rightOne) {    //在该位上是1的
                eor1 ^= arr[i];
            }
        }
        return new int[]{eor1, eor1 ^ eor};
    }

别小看了这段代码，在这段代码中，还有两个位运算的妙用：

• int rightOne = eor & (~eor + 1);
  这行代码意为将eor二进制最靠右的1取出来赋给rightOne，目前可先记忆，实际上与补码的性质有关。
• (arr[i] & rightOne) == rightOne
  这行代码意为筛选出数组中第n位为1的数字。

下面我们来看另一道题：
给定一个数，判断其是否是2的幂次方。

• 思路：我们可以想到，一个数如果是2的幂次方，例如4，8，16，其二进制必然只有一个1，即100，1000，10000，所以我们只需利用这点去判断即可，如果该数n二进制位上只有一个1，则n&(n-1)==0

  public static boolean if2(int n){
     if((n&(n-1))==0){
         return true;
     }
         return false;
  }
  

位运算的另一个用途，是进行运算优化加速：
接下来介绍我们经典的n皇后问题：

• 题目：给定一个整数N，要求在N*N的棋盘上摆放N个皇后，且这N个皇后任意两个都不在同一行、同一列、同一斜线上

常规解法：暴力递归尝试，按行尝试，逐个尝试所有位置。
现可使用位运算优化，虽然时间复杂度不变，但其中常数大大降低，可有效提高效率。

假设现在n=8，则可使用8位二进制数代替当前皇后所在位置
我们假设在第一行这样放：00001000（1代表皇后所在位置）
则，对于第二行，我们即可给定一串数字去限定皇后可放的位置

行数	二进制数字限制
1	00001000
2	00011100
3	00111110

上表中2、3行1位置即皇后不可放的位置（共列、共斜线），选取1作为限制位置的原因是可以通过上一行的简单移位得到。以这种策略进行下去可有效提升效率。

此外，位运算还有许多妙用，比如位图、布隆过滤器等，在以后的文章中会重点介绍。