算法基础之分治法

算法原理

对于一个规模为 n 的子问题，若该问题可以容易地解决则直接解决，否则将其分解为 k 个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题形式相同。递归地解决这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解，这种算法设计策略叫分治法。

分治法所能解决的问题一般具有以下特征：

• 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决。
• 该问题可以分解为若干个规模较小的相似问题。
• 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。
• 该问题所分解出的各子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

分治法的一般算法设计如下：

SolutionType Solve(ProblemType P) {
    if(Small(P)) return Result(P);
    else {
        Divector<int>de(P，P1，P2，…，Pk);
        return Merge(Solve(P1), Solve(P2),..., Solve(Pk));
    }
}

其中 Small(P) 用来判断问题 P 的规模是否已经足够小，当问题 P 的规模足够小时，直接进行求解并返回结果 Result(P)，否则，将问题 P 分解为若干子问题，并逐个进行求解，最后将所有子问题的解 Ri 合并得到问题 P 的解并返回。

冒泡排序的交换次数

题目描述

给定一个数列 a，求对这个数列进行冒泡排序所需要的交换次数（此处冒泡排序指每次找到满足 a_i>a_{i+1} 的 i，交换 a_i 和 a_{i+1}，直到这样的 i 不存在为止的算法）。

输入输出

输入：数列元素个数 n 和 n 个数列元素。

输出：交换次数。

解题思路

求所需交换次数等价于求满足 i＜j 且 a_i＞a_j 的 (i,j) 数对的个数，也即求数列 a 的逆序数。

假设要统计数列 A 中逆序对的个数，为此，可以将数列 A 分成两半得到数列 B 和数列 C，于是，对于数列 A 中所有的逆序对 (a_i,a_j)，必然属于以下情况之一：

• ① (a_i,a_j)属于数列 B 的逆序对；
• ② (a_i,a_j) 属于数列 C 的逆序对；
• ③ a_i 属于数列 B 而 a_j 属于数列 C。

对于情况①和②，可以通过递归求得。对于情况③，需要做的就是对于 C 中的每一个元素，统计在数列 B 中比它大的元素的个数，再把结果相加。最后再将③中情况所得结果相加，便得到数列 A 的逆序数。

情况③进行统计时，如果采用普通方法，即使用两个 for 循环逐个比较，时间复杂度较高。因此，借鉴归并排序的思想，在进行统计的同时边将两个子数列进行归并，由递归的特性可知，进行归并时，两子数列也是有序的，如此，情况③统计只需扫描一遍数列。

代码实现

typedef vector<int> vi;

int main() {
    // 输入
    int n;
    cin >> n;
    vi A(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i)cin >> A[i];
    // 求解并输出
    cout << solve(A);
}

/**
 * 求数列a的逆序数
 * @param a 数列
 * @return     逆序数
 */
int solve(vector<int> &a) {
    int n = a.size();
    // 数列元素个数小于等于1，逆序数为0
    if (n <= 1)return 0;
    // 二分
    vector<int> b(a.begin(), a.begin() + n / 2);
    vector<int> c(a.begin() + n / 2, a.end());
    // 情况1与情况2（子问题）
    int cnt = solve(b) + solve(c);
    // 情况3
    int ai = 0, bi = 0, ci = 0;
    while (ai < n) {
        if (bi < b.size() && (ci == c.size() || b[bi] <= c[ci])) {
            a[ai++] = b[bi++];
        } else {
            // b[bi..n/2-1] 都比 c[ci] 大
            cnt += n / 2 - bi;
            a[ai++] = c[ci++];
        }
    }
    // 返回合并所得解
    return cnt;
}

时间复杂度：O(nlog(n))。

空间复杂度：O(nlog(n))，归并排序的空间复杂度实际可降至 O(n)。

最近点对问题

题目描述

给定平面上的 n 个点，求距离最近的两个点的距离。

输入输出

输入：第一行输入点的个数 n，第二行输入 n 个点的横坐标 x_i，第三行输入 n 个点的纵坐标 y_i。

输出：距离最近的两个点的距离。

解题思路

将所有点按x坐标（按y坐标也可）分成左右两半，那么最近点对的距离就是下面三者的最小值。

• ① p 和 q 同属于左半边时，点对 (p,q) 距离的最小值；
• ② p 和 q 同属于右半边时，点对 (p,q) 距离的最小值；
• ③ p 和 q 属于不同区域时，点对 (p,q) 距离的最小值。

对于情况①和②可以递归求解，情况③稍微复杂。假设情况①和②所求得的最小距离为 d，所以在情况③中便不需要考虑距离显然大于等于 d 的点对。

先考虑 x 坐标。假设将点划分为左右两半的直线为 l，其 x 坐标为 x_0，只需考虑那些到直线 l 距离小于 d 的点，也即 x 坐标满足 x_0-d＜x＜x_0+d 的点。

再考虑 y 坐标。对于每个点，只考虑那些 y 坐标相差小于 d 的点，同时，为了避免重复计算，规定只考虑与 y 坐标不比自己大的点组成的点对。因此，对于每个点 p，只需要考虑与 y 坐标满足 y_p-d＜y＜y_p 的点组成的点对。

为了将所有点按 x 坐标分成左右两半，需要先将所有点按 x 坐标排序。为了避免重复考虑，在处理情况③前，需要将待考虑的点按 y 坐标排序（由于分治法求解最近点对问题与归并排序在结构上的相似性，此处借鉴归并排序的思想）。

代码实现

#define INF 1.79E+308
typedef pair<double, double> pdd;

int main() {
    // 输入
    int n;
    cin >> n;
    pdd *ps = new pdd[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i)cin >> ps[i].first;
    for (int i = 0; i < n; ++i)cin >> ps[i].second;
    // 按x坐标排序
    sort(ps, ps + n, compX);
    // 求解并输出最近点对的距离
    cout << solve(ps, n);
}

/**
 * 求最近点对的距离
 * @param ps 所有点
 * @param n 点的个数
 * @return 最近点对的距离
 */
double solve(pdd *ps, int n) {

    if (n <= 1)return INF;
    // 中线
    int m = n >> 1;
    double x = ps[m].first;
    // 处理情况1和2，得到目前距离最小值d
    double d = min(solve(ps, m), solve(ps + m, n - m));
    // 按y坐标从小到大进行排序（归并排序）
    inplace_merge(ps, ps + m, ps + n, compY);
    // 处理情况3
    vector<pdd> pl;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        // 排除到直线l的距离大于等于d的点
        if (fabs(ps[i].first - x) >= d)continue;
        // 从后往前检查b中y坐标相差小于d的点
        for (int j = pl.size() - 1; j >= 0; --j) {
            double dy = ps[i].second - pl[j].second;
            if (dy >= d)break;
            double dx = ps[i].first - pl[j].first;
            d = min(d, sqrt(dx * dx + dy * dy));
        }
        // 记录到直线l的距离小于d的点
        pl.push_back(ps[i]);
    }
    return d;
}

// 按x坐标从小到大排序
bool compX(const pdd &p1, const pdd &p2) {
    return p1.first < p2.first;
}

// 按y坐标从小到大排序（归并排序）
bool compY(const pdd &p1, const pdd &p2) {
    return p1.second < p2.second;
}

时间复杂度：O(nlog(n))。

空间复杂度：O(n)。

经验总结

由于递归特别适合解决结构自相似问题，故分治法通常采用递归实现，但并非只能采用递归实现。当采用递归实现时，在每层递归中，需要完成“分”、“治”、“合”三个步骤。

“分”指的是，将原问题分解为若干规模较小、相互独立、与原问题形式相同的子问题。子问题的规模应大致相同，子问题的个数 k 视具体情况而定，一般来说，k 可以取 2。“分”这一步尤为重要，若不能将原问题分解为若干符合要求的子问题，说明此问题不适合采用分治法，若分解不恰当，会降低算法效率，甚至得出错误结果。数列通常按中点位置进行二分，树通常按重心分割（重心指使得删除该顶点后得到的最大子树的顶点数最少的顶点），平面通常按照坐标进行分割。

“治”指的是，若子问题规模 n 足够小则直接求解，否则，递归求解子问题。子问题规模 n 究竟小到何种程度才算足够小需要视具体问题而定。

“合”指的是，合并各个子问题的解，得到原问题的解。需要注意的是，当子问题所考虑到的解对于原问题来说不完整时，还需要考虑遗漏的解，如最近点对问题中的情况③。

当递归体中需要使用到排序时，可以借鉴归并排序的思想，从而做到边求解边排序，降低排序的时间复杂度。分治法的基本思想较为简单，就是不断地将问题划分成子问题，直到子问题能够快速求解，当然，需要满足实验原理中所列的条件。

需要注意的就是，划分子集时需要做到不遗漏、不重复。对于最值问题（最大值、最短距离等），有时为了代码编写方便，可以允许部分重复，但如果重复考虑的情况太多，可能会提高时间复杂度，这需要权衡，对于计数类问题（方案数等），一般情况下是不允许重复的，如果重复考虑某些情况，很可能就会得出错误的结果。

END

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