导数

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title: 导数

指数

指数是指多个相同数据的乘积如：

y = x x x 可以表示为 $y = x^3$

对数

对数和指数为互逆预算

$y=x^3$ 求 x 的 z 次方是 y： $z=logx^y$

常见的指数与对数：

1. $y=e^x$ (e 是一个数学上非常重要的常数 值为： 2.71828)
2. $y=log(x)$ 以 10 为底的对数
3. $y=ln(x)$ 以 e 为底的对数

微积分

导数

$$ f(x)' = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} $$

导数在几何上可以表示曲线在某一点的斜率、在物理上可以用来描述物体的速度或者加速度。

常见的求导公式：

1. 常数求导：$\frac{d}{dx}c=0$ 、$\frac{d}{dx}ax=a$
2. 冥函数导数：$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$
3. 指数求导：$\frac{d}{dx}(a^x)=a^xln(a)$、$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$
4. 对数求导:$\frac{d}{dx}(log_ax)=\frac{1}{xln(a)}$、$\frac{d}{dx}(ln(x)) = \frac{1}{x}$

导数的运算公式：

• 常数倍法则

如果一个函数 f(x)与 常数 C 相乘 那么他的导数也等于常数 与原来函数导数的乘积

$$ \frac{d}{dx}(c \cdot f(x)) = c \cdot \frac{e}{dx}(f(x)) $$

• 和差法则

如果一个函数 f(x) 与 另外一个函数 g(x) 相加或者相减，那么他们的倒数也等于各自倒数的和或者差

1. 相加：

$$ \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx}(f(x)) + \frac{d}{dx}(g(x)) $$

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2. 相减:

$$ \frac{d}{dx}(f(x) - g(x)) = \frac{d}{dx}(f(x)) - \frac{d}{dx}(g(x)) $$

• 乘积法则

  如果一个函数 f(x) 与另外一个函数 g(x) 相乘，那么他们的倒数等于第一个函数乘于第二个函数的倒数在加上第二个函数乘于第一个函数的导数

$$ \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f(x) \cdot \frac{d}{dx}(g(x)) + g(x) \cdot \frac{d}{dx}(f(x)) $$

• 链式法则

如果一个函数由 2 个函数组成 f(x) = f(g(x)) 则：

$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

如果一个函数的导数大于 0，则函数是单调递增的，如果函数的导数小于 0 则函数是单调递减的

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