期权定价的魔法：Black-Scholes公式（一）

前言

对冲？动态对冲？对冲基金？这些术语，你可能都耳熟能详。但什么是对冲？它的理论基础和实际操作是什么？有多少人能够精确描述？更不用说，对冲基金的具体运作机制和动态对冲的复杂性了。

这些问题的答案可以追溯到一个关键的金融工具：期权。你可能听说过期权能够帮助投资者管理风险、预测价格走势，甚至在市场下跌时实现收益。但你是否真正理解它背后精妙的定价机制？Black-Scholes模型，被称为金融界的“相对论”，正是期权定价的理论基石。通过几个关键参数，它揭示了期权的价值。那么，这个看似复杂的数学模型，真的就是每一个对冲基金的“秘密武器”吗？

接下来的系列文章，将带领你进入这个充满奥秘的期权世界。我们将从Black-Scholes模型的推导出发，探索期权定价的希腊字母，深入理解波动率微笑及其在量化策略中的实际应用。通过层层剖析，你将明白这些看似高深的概念如何与实际市场交易紧密相连。

另外，是否好奇，期权的希腊字母如何帮助交易者精确衡量市场风险？又是什么让波动率成为投资决策的关键指标？如果你对VIX指数有所耳闻，但从未深入理解它的意义，我们将一同探讨它如何成为应对市场情绪波动的有力工具。

一、Black-Scholes模型的背景

Black-Scholes模型（简称BS模型），又称为Black-Scholes-Merton模型（BSM），最早由Fischer Black和Myron Scholes于1973年在其经典论文《The Pricing of Options and Corporate Liabilities》中提出。Robert Merton随后在同年对该模型进行了进一步完善，并给出了解析解。这一工作，不仅为期权定价提供了全新的视角，更为现代金融工程奠定了坚实的数学基础。值得一提的是，Merton和Scholes因此在1997年获得了诺贝尔经济学奖（由于早逝，Fischer Black未能共享这一殊荣）。

Black-Scholes模型是历史上第一个为期权定价问题提供解析解的模型。它不仅计算成本低，而且具备良好的可解释性。因此，BS模型成为现代金融衍生品定价的基石。尽管此后提出了诸如Heston模型、SABR模型等一系列优秀的定价模型，但由于BS模型在计算上的简便性、对市场参与者的高度可解释性，BS模型至今仍被广泛采用。例如，大多数交易所提供的期权希腊字母（如Delta、Gamma、Vega等）通常是基于BS模型计算的；投资者同样依赖该模型生成期权的理论报价，尤其是在高频交易领域，BS模型更是因其高效的计算能力也被广泛应用。

这篇文章大概是全网最详细的BS模型推导文稿，建议收藏食用。我们将从最基础的金融学和数学原理出发，详细讲解Black-Scholes模型的设计初衷及推导过程，带你深入理解这一经典模型背后的逻辑。

二、 前置知识

在深入理解Black-Scholes模型之前，我们需要掌握一些基础概念和工具。以下是推导Black-Scholes模型所必需的前置知识：

2.1 布朗运动

布朗运动（Brownian Motion）是金融中用来模拟资产价格随机波动的基础，是各种模型随机性的来源。设\( W(t) \)表示一个标准布朗运动过程，满足以下性质：

1. \( W(0) = 0 \)；
2. \( W(t) \)具有独立增量，即对任意\( t_1 < t_2 \)，\( W(t_2) - W(t_1) \)是正态分布的；
3. 对任意\( t > 0 \)，\( W(t) \)的增量服从均值为0、方差为\( t \)的正态分布：\( W(t) \sim N(0, t) \)。

资产价格\( S(t) \)的演变通常被假设为几何布朗运动，即\( S(t) \)的变化可以表示为：

$$ dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t) \tag{1} $$

其中，\( \mu \)是资产的漂移率，\( \sigma \)是波动率，\( dW(t) \)表示布朗运动的不确定性部分。公式(1)表示资产价格的增量是由确定性的漂移和随机波动共同作用的结果。

2.2 二次变分

二次变分是随机微积分中用来度量过程波动率的重要工具。假设\( X(t) \)是一个布朗运动过程，二次变分定义为：

$$ [X](t) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} (X(t_{i+1}) - X(t_i))^2 $$

对于标准布朗运动\( W(t) \)，其二次变分为：

$$ [W](t) = t 或 (dW(t))^2=dt\tag{2} $$

这意味着布朗运动的波动率随着时间线性增加，公式(2)在资产价格随机过程的推导中会起到关键作用。

2.3 伊藤引理

伊藤引理（Itô’s Lemma）是随机微积分中的一个重要工具，用于处理随机过程的函数。如果我们有一个函数\( f(S,t) \)，其中\( S \)是一个一般布朗运动(伊藤过程的一种)，那么伊藤引理给出的\( f(S,t) \)的微分形式为：

$$ df(S,t) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial S} dS + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} (dS)^2 \tag{3} $$

其中，\( dS \)遵循公式(1)，即：

$$ dS = \mu S dt + \sigma S dW(t) $$

大概推导过程是根据泰勒展开，并省略比\( dt \)更高阶的无穷小项。对应的，\( (dS)^2 \) = \( \sigma^2 S^2 dt \)。将其代入公式(3)得到：

$$ df(S,t) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial S} (\mu S dt + \sigma S dW(t)) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 dt \tag{4} $$

这就是伊藤引理的具体形式，后面Black-Scholes模型的推导需要用到。

2.4 无套利假设

无套利假设是金融市场定价理论的基础，它假设在理想市场条件下，不存在“无风险盈利”机会（现实中，套利空间很快会被套利者搬空）。即任何投资组合的收益率都不能大于无风险利率。

2.5 风险中性

在Black-Scholes模型中，通常假设市场处于“风险中性世界”，即所有投资者对风险的偏好为零。在风险中性假设下，资产的预期收益率等于无风险利率。

三、标的价格动态过程

3.1 几何布朗运动

在金融市场中，资产价格的波动通常具有高度的不确定性，需要找到一个合适的模型来描述这种波动。几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）是最常见的描述资产价格的模型之一。其定义为：

$$ dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t) \tag{1} $$

其中：

• \( S(t) \)表示资产价格；
• \( \mu \)是资产的漂移率，表示投资者对资产价格的预期收益率（受主观的风险偏好影响）；
• \( \sigma \)是波动率，表示资产价格的波动程度；
• \( W(t) \)是标准布朗运动，用于表示价格的随机波动。

3.2 几何布朗运动背后的原因：

3.2.1 对数收益正态性

金融学中的一个经典经验事实是，资产的对数收益率近似服从正态分布。即对数收益\( \ln(S(t)/S(0)) \)服从一个均值为\( \mu - \frac{1}{2} \sigma^2 \)，方差为\( \sigma^2 t \)的正态分布。几何布朗运动模型恰好能捕捉这一特性。

根据几何布朗运动的定义，资产价格\( S(t) \)的对数变换是一个一般布朗运动过程：

$$ d \ln(S(t)) = \left(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2\right) dt + \sigma dW(t) \tag{6} $$

该公式表明，对数收益率的变化服从正态分布（实际只是近似服从，相较正态分布，真实分布具有尖峰肥尾的特征）。

3.2.2 资产价格非负性

资产价格不能为负，因此直接用标准布朗运动来描述价格变化是不合适的。几何布朗运动确保了资产价格始终为正，因为它模型中的资产价格以指数形式表现。根据几何布朗运动，有：

$$ S(t) = S(0) \exp\left(\left(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2\right) t + \sigma W(t)\right) \tag{7} $$

这一形式自然地保证了\( S(t) > 0 \)，从而避免了负价格的出现。

四、期权价格函数

期权价格也称价值或者权利金，很直观的，期权的价值由背后的标的资产决定，并随时间变化，所以它是标的资产价格\( S \)和时间\( t \)的函数，即\( f = f(S,t) \)。我们借助伊藤引理来推导期权价格的动态变化。

根据伊藤引理，假设\( f(S,t) \)是一个关于\( S \)和\( t \)的二次可微函数，且\( S(t) \)服从几何布朗运动，即

$$ dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t) \tag{1} $$

那么，期权价格函数\( f(S,t) \)的微分形式可以由伊藤引理给出：

$$ df = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial S} dS + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} (dS)^2 \tag{8} $$

其中，\( (dS)^2 \)可以通过布朗运动的性质得出，因为\( (dW(t))^2 = dt \)，所以有：

$$ (dS)^2 = \sigma^2 S^2 dt \tag{9} $$

将\( dS \)和\( (dS)^2 \)代入到公式(8)中，我们得到期权价格的完整表达式：

$$ df = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial S} (\mu S dt + \sigma S dW(t)) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 dt \tag{10} $$

进一步展开，我们可以将这一公式分为确定性项和随机项：

$$ df = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu S \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial f}{\partial S} dW(t) \tag{11} $$

从公式(11)可以知道，期权价格\( f(S,t) \)的变化由两部分组成：一个是关于时间和标的资产价格的确定性部分，另一个是与随机波动相关的随机项。

五、无风险投资组合的构建

5.1 无风险组合

设期权价格为\( f(S,t) \)，期权是标的资产\( S(t) \)的函数。我们现在希望构建一个包含期权和标的资产的投资组合，使得这个组合在短期内是无风险的。具体地，我们考虑一个投资组合\( \Pi \)，它包含：

• 持有1份看涨期权多头；
• 持有\( \Delta \)份标的资产\( S(t) \)空头。

因此，投资组合的价值\( \Pi \)为：

$$ \Pi = f(S,t) - \Delta S(t) \tag{12} $$

在这个组合中，期权价格\( f(S,t) \)的变化\( df \)中包含随机波动项（即\( dW(t) \)相关项），标的资产\( S(t) \)的变化也包含布朗运动的随机波动项，如果想要组合没有风险(没有不确定性)，就需要选定一个合理的\( \Delta \)来抵消两者的不确定性，使投资组合在短间隔内的收益是确定的。

5.2 寻找合适的\( \Delta \)

要消除投资组合的不确定性，我们需要使随机项（即与布朗运动相关的项）相互抵消。

首先，看看投资组合\( \Pi \)的变化(根据公式12得到)：

$$ d\Pi = df - \Delta dS(t) \tag{13} $$

将\( df \)(公式11)和\( dS(t) \)(公式1)的表达式代入上式：

$$ d\Pi = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu S \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial f}{\partial S} dW(t) - \Delta (\mu S dt + \sigma S dW(t)) \tag{14} $$

此时，可以发现，让\( \Delta = \frac{\partial f}{\partial S} \)可以刚好消除\( S \)以及随机项\( dW(t) \)，此时有：

$$ d\Pi = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \right) dt \tag{15} $$

此时，投资组合的变化\( d\Pi \)不再包含任何不确定性，\( \Pi \)变成了一个无风险的组合。
既然\( \Pi \)是一个无风险投资组合，根据无套利原则，无风险投资组合的收益率应该等于市场的无风险利率\( r \)，因此，有以下关系：

$$ d\Pi = r \Pi dt \tag{16} $$

5.3 得到BS方程

将公式(12)和(15)代入公式(16)，得：

$$ \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \right) dt = r \left( f(S,t) - \frac{\partial f}{\partial S} S \right) dt \tag{17} $$

经过整理，我们得到Black-Scholes微分方程：

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + r S \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = r f \tag{18} $$

这就是大名鼎鼎的BS方程。

六、BS微分方程的求解

BS方程（公式(18)）是一个偏微分方程，描述了期权价格随标的资产价格和时间的变化。在求解这个方程时，主要有两种方法：期望收益法和热传导方程法，这里则介绍期望收益法。

6.1 根据期末期望收益求解

欧式期权在到期时的收益是确定的，对于欧式看涨期权，到期时的收益函数为：

$$ C(T) = \max(S_T - K, 0) \tag{19} $$

其中\( S_T \)是到期时标的资产价格，\( K \)是期权的执行价格。欧式看涨期权的价值是基于到期时的预期收益的折现值，因此我们的目标是计算期权在到期时的期望收益并将其折现到当前时刻\( t \)。

假设标的资产价格\( S(t) \)服从几何布朗运动，即：

$$ dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t) \tag{1} $$

其中，\( \mu \)是标的资产的漂移率，\( \sigma \)是资产价格波动率，\( dW(t) \)是标准布朗运动。在风险中性世界中，资产价格的演变只依赖于无风险利率\( r \)，即\( \mu = r \)。
欧式看涨期权在任意时刻\( t \)的价值\( C(t) \)是期末期望收益的折现值：

$$ C(S, t) = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\max(S_T - K, 0)] \tag{20} $$

其中，\( \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \)表示在风险中性测度下的期望。这个期望的定义为：

$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\max(S_T - K, 0)] = \int_{K}^{\infty} (S_T - K) f_{S_T} dS_T\tag{21} $$

其中\( f_{S_T} \)是\( S_T \)的对数正态分布的概率密度函数。所以，只要我们得到\( f_{S_T} \)的表达式就能得到期权价格的解析解。

6.1.1 寻找密度函数\( f_{S_T} \)

标的资产价格\( S(t) \)的对数收益率\( \ln S_T \)变化量：

$$ d \ln S(t) = \frac{1}{S(t)} dS(t) - \frac{1}{2} \frac{(dS(t))^2}{S(t)^2} $$

将公式(1)和公式(2)代入，可得：

$$ d \ln S(t) = \left( \mu - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) dt + \sigma dW(t) $$

在风险中性假设下，\( \mu = r \)：

$$ d \ln S(t) = \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) dt + \sigma dW(t) \tag{22} $$

对上式在\( [t, T] \)区间积分，得到\( \ln S_T \)的分布：

$$ \ln S_T = \ln S_t + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) (T - t) + \sigma \left( W_T - W_t \right) $$

因为\( W_T - W_t \sim \mathcal{N}(0, T - t) \) (布朗运动的特性)，因此\( \ln S_T \)服从如下正态分布：

$$ \ln S_T \sim \mathcal{N} \left( \ln S_t + (r - \frac{1}{2} \sigma^2)(T - t), \sigma^2 (T - t) \right) \tag{23} $$

因此，得到概率密度函数\( f_{S_T} \)为：

$$ f_{S_T} = \frac{1}{S_T \sigma \sqrt{2\pi (T - t)}} \exp \left( -\frac{\left( \ln \left( \frac{S_T}{S_t} \right) - \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) (T - t) \right)^2}{2 \sigma^2 (T - t)} \right)\tag{24} $$

6.1.2 积分求解

期末期望收益的折现值可以拆分为两部分：

$$ C(S, t) = e^{-r(T-t)} \left( \int_{K}^{\infty} S_T f_{S_T} dS_T - K \int_{K}^{\infty} f_{S_T} dS_T \right)\tag{25} $$

首先，我们计算一部分积分\( \int_{K}^{\infty} S_T f_{S_T} dS_T \)，由于\( S_T \)服从对数正态分布，积分可以通过标准化处理为累积正态分布函数\( N(d) \)，得到：

$$ e^{-r(T - t)}\int_{K}^{\infty} S_T f_{S_T} dS_T = e^{-r(T - t)}e^{r(T - t)}S_t N(d_1)=S_t N(d_1) \tag{26} $$

其中，\( \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_T] = S_t e^{r(T - t)} \)，\( d_1 \)为：

$$ d_1 = \frac{\ln(S_t / K) + (r + \frac{1}{2} \sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} $$

接下来，计算第二部分积分：

$$ \int_{K}^{\infty} f_{S_T} dS_T = N(d_2) $$

其中，\( d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t} \)。

因此，第二部分积分结果为：

$$ e^{-r(T - t)}K \int_{K}^{\infty} f_{S_T}(S_T) dS_T = K N(d_2) \tag{27} $$

6.1.3 方程的解析解

最后，整理得到方程的解：

$$ C(S, t) = S_t N(d_1) - K e^{-r(T-t)} N(d_2) \tag{28} $$

这样我们就得到了BS方程的解析解。这一解表明，欧式看涨期权的价值\( C(S,t) \)是基于当前标的资产价格、执行价格、无风险利率、波动率以及到期时间的函数。

总结

尽管Black-Scholes模型在金融领域具有广泛的应用，但它存在一些难以忽视的缺陷，尤其是常数波动率假设。在实际市场中，波动率并不是固定的，而是随时间、标的资产价格的变化而波动，这导致了波动率微笑现象的出现，因此在处理深度虚值或深度实值期权时的定价精度不足。
针对它的不足之处，后人站在巨人的肩膀上，引入随机波动率模型（如Heston模型）、跳跃扩散模型，等更符合实际情况的模型。但是，瑕不掩瑜，BS模型不仅为我们提供了定价衍生品的基础框架，也为后续更复杂的定价模型和市场现象研究铺平了道路。

下一篇文章 希腊字母：揭开期权风险管理的秘密语言（二），我们将介绍希腊字母的定义和应用，敬请期待！