学习笔记 - 汉明码

计算机使用的是2进制（0和1）存储和传输数据。但是这样做会有1定的几率（非常非常小）出现错误，导致0变成了1或者1变成了0。那么，计算机是怎么知道自己出现了错误呢？

三重码

三重码，顾名思义，就是把重要的事情说三遍。如果有数据损坏，那么可以通过其他的数据来修复损坏的数据。如果只有1个以下的地方出错，就可以修复：

原始数据	0	0	0	0	1	1	1	1
发送数据	000	000	000	000	111	111	111	111
接收数据	000	001	010	100	111	110	101	011
还原数据	0	0	0	0	1	1	1	1

那么有2个以上地方出错，那么就不能修复了（虽然概率非常低）：

原始数据	0	0	0	0	1	1	1	1
发送数据	000	000	000	000	111	111	111	111
接收数据	011	101	110	111	100	010	001	000
还原数据	1	1	1	1	0	0	0	0

但是，出错的概率是很低的，使用三重码会传输三次原始数据，导致效率下降。既然如此，纠错的频率可以降低1些。

奇偶校验码

奇偶校验码的工作原理是统计1段2进制数中数字“1”出现的次数。如果这1段中出现偶数个“1”，那么校验码是“0”；如果出现奇数个“1”，那么校验码是“1”。下面是1个8位的简单的例子：

原始数据	接收数据	校验码
0100 1010	0100 1010	1
0100 1010	0100 1000	1

在原始数据“0100 1010”中，数字“1”出现了3次（奇数次），所以校验码是“1”。但是在第2个数据中，接收的数据“0100 1000”中数字“1”只出现了2次（偶数次），校验码本该是“0”，但是接收的校验码是“1”，所以判断这个数据有误。

但是奇偶校验码只能判断1个以内的错误。因为奇偶校验码只能告诉数字“1”出现的次数的奇偶性，所以出现2个错误，奇偶校验码就没用了。

根据奇偶校验码的特性，可以想到用行列定位错误的位置。下面是1个16位的例子：

实际数据					校验码
	0	1	0	0	1
	1	0	1	0	0
	0	1	0	0	1
	1	0	0	0	1
校验码	0	0	1	0

错误数据					校验码
	0	1	0	0	1
	1	0	0	0	0
	0	1	0	0	1
	1	0	0	0	1
校验码	0	0	1	0

由此，可以很快确定出错的位置。但是出错2个连续的地方就没办法定位了：

错误数据					校验码
	0	1	0	0	1
	1	0	0	1	0
	0	1	0	0	1
	1	0	0	0	1
校验码	0	0	1	0

因为每1行的校验码都是正确的，所以无法定位。而且这样的效率还是太低了，16位数据需要8个校验码。于是查德·卫斯里·汉明发明了——汉明码。

汉明码

有1道著名的智力谜题：16杯水中有1杯有毒，如何用最少的化验次数判断哪杯有毒？

解题思路：随机选取8杯化验，如果有毒，那么有毒的杯子就在这8杯里；如果没毒，那么有毒的杯子就在另外8杯里面。再选取4杯化验……如此化验4次，直到确定1杯有毒的。这样概括解题思路：错误如果不在这1半，那么1定在那1半。我们继续使用16位的例子：

原始数据	校验码
0100 1010 0100 1000	0
0100 1010 0100 1000	1
0100 1010 0100 1000	1
0100 1010 0100 1000	0

由此计算出“0100 1010 0100 1000”的4位校验码是“0110”。

如果接收数据是“0100 1000 0100 1000”，那么这样的校验码是“0000”，与接收到的校验码“0110”不符，所以接收数据有误。

第1个和第4个的校验码无误，所以错误不在这些地方：

0100 1000 0100 1000

第2个和第3个的校验码有误，所以错误同时在第2个和第3个校验的地方：

0100 1000 0100 1000

根据上面的分析结果，错误只能在：

0100 1000 0100 1000

所以正确的数据应该是：

0100 1010 0100 1000

但是……这个操作有个问题：发生在第1位的错误是检测不出来的。也就是说4位校验码可以校验15位数。而且又迎来了1个问题：数据没错，校验码有误，那么怎么办呢？汉明的方法是将校验码和原始数据混合在1起：在11位中混入4位校验。

位置	位置的2进制值	值	备注
1	0001		留空
2	0010		留空
3	0011	0
4	0100		留空
5	0101	1
6	0110	0
7	0111	0
8	1000		留空
9	1001	1
10	1010	0
11	1011	1
12	1100	0
13	1101	0
14	1110	1
15	1111	0

会发现：留空的位置的2进制值中只有1位是“1”。

计算校验码时，先计算位置的2进制值第1位是“1”的奇偶校验码，比如位置“1001”、“1010”，填入第8位；再计算位置的2进制值第2位是“1”的奇偶校验码，比如位置“0101”、“1110”，填入第4位；然后计算位置的2进制值第3位是“1”的奇偶校验码，比如位置“0110”、“1010”，填入第2位；最后计算位置的2进制值第4位是“1”的奇偶校验码，比如位置“1001”、“1011”，填入第1位。

那么，我们会得到：

位置	位置的2进制值	值	备注
1	0001	1	留空
2	0010	0	留空
3	0011	0
4	0100	0	留空
5	0101	1
6	0110	0
7	0111	0
8	1000	1	留空
9	1001	1
10	1010	0
11	1011	1
12	1100	0
13	1101	0
14	1110	1
15	1111	0

如果第5位出现错误，那么第1位和第4位校验码会出错。由排列方式可知：如果数据出错，那么1定会导致2个或者以上校验码出错，因为数据位置的2进制值不仅仅有1个“1”。如果只有1个校验码出错，那么只能说明是校验码本身的问题。如上的方式可以纠正1位错误。那么出现2位错误呢？我们可以设置第0位数来表示后面15位数的奇偶校验码：

0100 0100 1101 0010

当后面的数据出现1位错误时，第0位能察觉出错误；当后面的数据出现2位错误时，第0位察觉不出错误，但是校验码可以察觉错误；这样，汉明码就具备了纠正1位错误，察觉2位错误的能力。当出现2位错误时，虽然不能纠正，但是可以让对方再发送一遍消息来纠正错误。

那么……出现三个错误呢？汉明码就察觉不了了，就需要类似里德-所罗门纠错码的其他纠错码了。