65年数学难题新突破!

来自复旦大学的林伟南、王国祯以及UCLA的徐宙利合作,解决了126维空间的Kervaire不变量问题。

三位作者都是北大数院出身,该成果曾作为北大建校126周年贺礼做报告,现在完整论文终于上传arXiv。

三位北大校友突破65年数学难题!为母校126周年献贺

△图源:北京大学数学科学学院

他们这次解决的是高维拓扑学中的核心难题之一,也被称为“末日假说”:如果该假说被证伪,许多基于它建立的所有其他猜想都将被推翻!

Kervaire不变量用于判断流形能否通过特定方法转化为球体。当一个流形可以精确地转化为球体时,该不变量等于零;无法转化为球体时,该不变量等于1。

到了1960年,数学家们已经证明Kervaire不变量为1的流形存在于维度2、6、14、30中。

前面的问题背景介绍都看不懂也没关系,观察这四个数字很容易得出他们似乎满足2^n-2的规律。

数学家们很自然的假设这种流形还会存在于62、126、254等维度,但证明止步于62维,后面停滞了几十年未取得进展。

直到2009年,终于有人证明了大于等于254维时这样的流形不存在,至此,126维成为了全部问题的最后一块拼图。

林伟南、王国祯、徐宙利三人这次证明126维的方法结合了计算机计算和理论见解,被学术界评价为“堪称一项宏伟的工程”。

三位北大校友突破65年数学难题!为母校126周年献贺

从105种可能性到唯一解

几十年来,数学家们都在好奇一个问题:

哪些维度存在一些奇怪的形状,其扭曲到即使利用特殊手段也无法转化为球体。

通俗理解,每增加一个维度就意味着创造了一个新的移动方向,而不同维度都有各自的特性。

比如在第8维和第24维(下图),数学家已经证明这两个维度可以让球体排列得特别紧密。而在其他维度中,球体的排列可能就没那么完美,甚至看起来有些“皱巴巴”的,就像一个被揉皱的纸团一样。

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通过找出这些具有扭曲形状的维度,数学家们可以更好地理解不同维度空间的性质和规律。

而在林伟南等人的研究之前,数学家已经发现这些扭曲形状存在于第2、6、14、30和62维空间中,并且排除了除第126维之外的其他情况。

也就是说,唯一不确定的第126维,现在已经被他们最终解决了。

不过要想弄清楚他们是如何解决这个问题的,我们还得回顾一下前人取得的一些进展。

相关研究最早可以追溯到20世纪50年代,数学家John Milnor引入了目前流形研究中的一种通用方法——surgery(手术)。

其中,流形在数学中指一个复杂的形状,比如一个弯曲的表面或更高维度的空间。

而surgery就像是对这个形状进行“整形”。需要先切掉一部分,然后沿着切口的边缘把新的部分缝上去。这个过程必须非常小心,不能留下任何尖锐的角或边缘,因为数学家希望新的形状是平滑的,就像一个完美的球面一样。

甚至当涉及到扭曲形状时,surgery还必须符合流形的“框架”,即流形在空间中的摆放位置。

比如在下面这个例子中,将一个“甜甜圈”(环面)变成球体,需要经历切割——形状变化——缝合——拓扑等价这几个过程。

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最终结果是,虽然形状发生了改变,但在拓扑学上却是等价的(基本结构和性质相同)。

利用surgery这一方法,数学家们得出以下发现:

二维平面不存在奇异球体;

在某些更高维度中,surgery可以使一些流形变成普通球体,同时使另一些变成奇异球体;

还有一种特殊情况,某些流形无法通过surgery变成球体。

这里所谓的奇异球体,是指在某个维度中与普通球体(标准球体)具有相同拓扑性质,但在微分结构上有所不同的球体。微分结构涉及到空间的局部平滑性,比如一个在普通球面上光滑的曲线可能在奇异球面上不光滑。

BTW,当初John Milnor就因在七维空间中发现奇异球体而震惊数学界,并且之所以引入surgery,也是想探索不同维度中的奇异球体。

基于上述发现,后来的研究聚焦在了第三种特殊情况上——某些流形无法通过surgery变成球体。

就像下面这个经过特殊扭曲的二维形状:

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而为了进一步判断一个流形是否可以通过拓扑surgery变成一个球体,法国数学家Michel Kervaire于1960年正式提出了Kervaire不变量。

可以转化为球体,Kervaire不变量为0;无法转化为球体,Kervaire不变量为1。

有了这个计算数值,数学家们争相确定不同维度流形的Kervaire不变量。

并且几年之内,他们就证明了在第2、6、14和30维空间中存在Kervaire不变量为1的扭曲流形。

显然,这几个维度存在一个明显规律:每个数都比2的幂小2。

后来在1969年,数学家William Browder证明了这一规律是唯一可能存在Kervaire不变量为1的地方。

沿着这一规律,人们自然假设其他维度还包括62、126、254等等,同时还有人基于这一假设提出了大量相关猜想。

不过由于假设并未得到完全证明,导致后来的猜想始终“摇摇欲坠”,所以这一假设也被称为“末日假说”。

再到后来,两项关键证明出现了:

一个是在1984年,数学家们证明了62维确实存在扭曲流形;另一个是在2009年,Hopkins等人证明了满足Kervaire不变量为1的流形不可能存在于254维及以上的空间。

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排除之后,唯一剩下的只有第126维空间了。

还是上面提到的William Browder,他在1969年发现了一个解决第126维问题的关键线索:

在亚当斯谱序列第126列中的一个特定点,对于理解该问题至关重要。

具体而言,这个点可以告诉我们126维流形是否可以被分类为具有Kervaire不变量为0或1的流形。

这里要分为两种情况:

其一,如果这个点在亚当斯谱序列的“无限”页(也就是最终页)上存活下来,那么这意味着在126维空间中存在两种类型的流形,即Kervaire不变量为0或Kervaire不变量为1。

其二,如果这个点在“无限”页上没有存活下来,那么在126维空间中就只存在一种类型的流形,即Kervaire不变量为0的流形。

概括而言,对于第126列中的特殊点,有105种不同的假设方式可能导致它在到达“无限”页之前消失。

为了排除这些可能性,林伟南等人进行了合作。其中由林伟南开发的计算机程序,首先排除了101种可能性。

后来又花了1年时间,继续排除了最后4种可能。

最终他们证明了,William Browder提出的特殊点确实存活到了“无限”页,即第126维具有Kervaire不变量为1的流形。

研究团队

三位作者中,王国祯和徐宙利在北大数院本科和硕士期间(2004-2011)一直是同学,硕士阶段还是舍友。

从北大数院毕业后,王国祯到MIT读博,2016年来到复旦大学上海数学中心从博士后一路做到副教授。

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△王国祯

徐宙利则去了芝加哥大学读博,毕业后先后在MIT、UCSD和UCLA任教,现为UCLA数学系教授。

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△徐宙利

两人一直保持合作关系,截止目前已在数学四大刊上联手发表了3篇论文。

林伟南比他们年龄小一些,2011年来到北大数院读本科,后到芝加哥大学读博,徐宙利与林伟南在芝加哥大学都接受Peter May的指导。

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△林伟南

2011年,当徐宙利来到芝加哥大学时就致力于研究流形的计算问题,导师Peter May提议他研究126维Kervaire不变量问题,还把他介绍给这方面的专家西北大学教授Mark Mahowald。

Mark Mahowald听说后立即否决了这项提议,他认为126维问题“将是一个终生难题”,并指导徐宙利去研究更低维度的相关问题。

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仅两年后,Mark Mahowald于2013年不幸去世,徐宙利等人却没有停下研究126维Kervaire不变量问题的脚步。

十多年后,当这个这个问题被解决,三位作者特别将这篇具有里程碑意义的论文献给了Mahowald,表达对这位代数拓扑学大师的敬意。

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论文地址: https://arxiv.org/abs/2412.10879


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