上一篇：有关态射的一切 原文地址：[链接] 这一篇正在翻译当中...

如果我还没有使你已经确信范畴论就是所有和态射有关的东西，那就是我的失职。因为下一个主题是伴随，而伴随是用hom集的同构定义的，所以回顾一下有关hom集的那些积木是很有意义的。而且你会看到伴随为描述我们之前研究的很多构造提供了一种更一般的语言，所以复习一下它们也很有必要。

上一篇：米田引理 原文地址：[链接] 我们之前已经看到，固定范畴C的一个对象，映射C(a, -)是一个从C到Set的（协变）函子。 {代码...} (上域是Set是因为hom集C(a, x)是个集合。)我们把这个映射叫hom函子——我们之前也已经定义了它在态射上的行为。 现在让我们变化这个映射中的a。我们得到了一个新的映射：给任意的a分配一...

范畴论中的大多数构造都是其他具体数学领域的泛化。诸如积、余积、幺半群和指数等等，早都在范畴论以前被了解了。在不同的数学分支中，它们也许有不同的名字。集合论中的笛卡儿积，序数理论的下确界，逻辑中的连词——他们都是范畴积这样一个抽象观点的具体例子。

是时候谈谈集合了。数学家们对集合论是又爱又恨。它是数学中的汇编语言——至少它常常是。范畴论在某种程度上尝试跳出集合论，一个众所周知得事实就是不存在所有集合的集合，但所有集合的范畴，Set，是存在的。这就很好。另一方面，我们假定一个范畴中任意两个对象之间的态射构成一个集合。我们还叫它hom集。为了公平，还...

不论是在范畴论中还是在编程中，幺半群都是个重要的观念。范畴对应着强类型的语言，而幺半群对应着无类型的语言。因为在幺半群里你可以复合任意两个箭头，就像无类型语言中你可以复合任意两个函数一样（当然，在你执行程序时可能以一个超时的错误而告终）。

似乎在范畴论中所有事情都是相互联系的，并且都可以用很多角度观察。就拿积的泛构造来举例吧，既然我们已经对函子和自然变换了解更多了，我们能不能简化积的泛构造，或者也许，推广它？让我们试试。

在本书的第一部分我曾说范畴论和编程都与可复合性相关。在编程时，你总会不断地把问题分解到一个你能处理其细节的程度，然后一个个地解决每个子问题，最后把它们自底向上地重新组合起来。大致来说，这有两种实现的方法：告诉计算机要做什么（what to do），或者告诉它如何去做(how to do it)。也就分别是声明式（编程）...