Largest Rectangle in Histogram

Problem

Given n non-negative integers representing the histogram's bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.

Above is a histogram where width of each bar is 1, given height = [2,1,5,6,2,3].

The largest rectangle is shown in the shaded area, which has area = 10 unit.

For example,
Given height = [2,1,5,6,2,3],
return 10.

Solution

暴力穷举法

最简单的自然是暴力法，即穷举左端坐标和右端坐标，计算两个坐标之间矩形的最大面积，再从所有的面积中得出最大的即为解。但是该方法至少需要两个for循环来遍历每一种左右端的组合，时间复杂度为O($n^2$)。以下是该方法的代码，解是对的，但在leetcode上会超时。

class Solution:
    # @param height, a list of integer
    # @return an integer
    def largestRectangleArea(self, height):
        length = len(height)
        max_area = -1
        for i in range(length):
            for j in range(i + 1, length):
                h = min(height[i: j])
                area = h * (j - i)
                if max_area < area:
                    max_area = area
        return max_area

利用栈减小时间复杂度

可以考虑，计算一个矩形的面积时，比如图

中的斜线部分，其两侧的高度一定是低于矩形所在的矩形条的高度的，因此可以通过维护一个栈来得出左端左边及右端坐标和矩形的高度，每一个矩形条只进栈一次，这样时间复杂度为O(n)。
1. 算法从左向右遍历每个矩形，以当前遍历的位置为右端坐标，如果栈为空或者当前矩形不低于栈顶的矩形，则将当前的位置坐标压栈，因为此时的坐标一定不是右边界（指要计算的面积右边的一个矩形条，不包含在要计算的面积中），例如图中，加入当前坐标为3，高度为6，栈顶坐标的高度为5，那么当前矩形条不可能作为右边界，将其压栈。
2. 如果当前位置的矩形低于栈顶的矩形条，那么当前位置可以作为一个矩形的边界，则从这个位置开始向左遍历，对每个高度大于右边界的矩形条作为左边界计算一次面积，直到高度小于右边界或栈为空。
3. 在遍历过一遍之后，如果栈不为空，则以栈中的每个坐标作为左边界计算一次面积，结合步骤2得出最大面积。
Accepted code如下：

class Solution:
    # @param height, a list of integer
    # @return an integer
    def largestRectangleArea(self, height):
        max_area = 0
        i = 0
        n = len(height)
        stack = []
        while i < n:
            if len(stack) == 0 or height[i] >= height[stack[-1]]:
                stack.append(i)
                i += 1
            else:
                top = stack.pop()
                area_with_top = height[top] * (i if len(stack) == 0 else i - stack[-1] - 1)
                if max_area < area_with_top:
                    max_area = area_with_top

        while len(stack) != 0:
            top = stack.pop()
            area_with_top = height[top] * (i if len(stack) == 0 else i - stack[-1] - 1)
            if max_area < area_with_top:
                max_area = area_with_top

        return max_area

这个方法并不是提供一个准确的找出最大的矩形的算法，而是通过试验那些“可能”成为最大的矩形的面积，再从其中找出最大的。而最大的矩形一定满足两个边界的高度小于该矩形的高度这个条件（如果不满足的话，边界也可以被添加进来计算而不破坏矩形的形状，此时不为最大），因此找出所有这样的矩形就一定可以在其中找出面积最大的矩形。