Java和Python中的整数除法，取余，舍入

关于除法，你也许觉得没什么值得谈论的，毕竟小学的时候体育老师就教过我们了。然而对于编程中使用的除法，我觉得还是有很多值得注意的细节的。为什么我想深究一下？因为我日常主要使用Java和Python编程，而它们的除法在细节上有很多不同之处，全是坑啊…所以接下来我也将着重于Java和Python，但是相信我，就算你不用Java和Python，也会有所收获的。

1.整数除法

对两个不能整除的整数做除法，就要面对舍入的问题。和大多数编程语言一样，Java的基本策略是向零取整(round to zero)，也就是向绝对值变小的方向取整。举几个香甜的小栗子：3/2=1, -3/2=-1。而对于Python而言，情况就有所不同了。

>>>-1/10
-1

显然如果按照Java的取整策略，-1/10应该得0，而Python给出的结果是-1。事实上Python的取整方式是向下取整，也就是向着数轴上负无穷的方向取整。
好吧，Java和Python的取整方式不同，夺大点事儿啊…那么如果我们要在Python下采用向零取整的结果，咋整？一种比较直接的方式是：

>>>int(float(-1)/10)
0

2.取余

谁说没大事？(￣▽￣)大事来了！

Java和Python整数除法都遵循下面这个公式：

(a/b)*b+c=a

也就是说：

a mod b=c=a-(a/b)*b

这里的/表示的是整数除法。既然它们的取整方式不一样，那么取余也会受到影响：

For Java: -2 % 3==-2
For Python: -2 % 3==1

在某些实际应用中，我们可能会被要求得到一个整数的各位数字。如果输入的整数的正的，Java和Python都可以用相同的方法来解决： 

def func(a):
    pos, res=1, []
    while a/pos:
        res+=(a/pos)%10,
        pos*=10
    return res

Java代码也差不多就是这样了。但如果输入的整数是一个负数，Java版本的代码还是可以得到正确的结果，而Python不能（曾经在这里被坑的，举手）。那怎样用Python正确地搞定这个问题嘞？可以先去绝对值和符号，当正数来处理，最后再在结果里搭上符号。

3. Follow-ups

3.1 Python中的另一个除法操作

我们知道，在Python中，基本的除号“/”是被重载了的。当两个操作数都是整数时，进行整数除法，得到整数结果，否则进行浮点数除法（真除法），得到浮点数结果。从Python 2.2开始，另一个除号被引入：//，它只执行整数除法。注意，//的结果类型依操作数而定。

>>>1.0/2
0.0
>>>1.0//2.0
0.0
>>>1//2
>0

另外，如果想同时得到商和余数，可以使用内建的函数divmod，结果是一个tuple。

>>>divmod(7, 2)
(3, 1)
>>>divmod(7.0, 2)
(3.0, 1.0)

3.2 Python中的舍入

除了缺省的舍入方式，Python还有多种舍入可供选择。
Floor rounding:

>>>import math
>>>math.floor(1.2)
1.0
>>>math.floor(-1.2)
-2.0

Ceiling rounding:

>>>math.ceil(1.2)
2.0
>>>math.ceil(-1.2)
-1.0

Round-off:

>>>round(0.5)
1.0
>>>round(-0.4)
-0.0
>>>round(-0.5)
-1.0

内嵌的round函数也可以一个指定保留小数位数的参数：

>>>round(0.21, 1)
0.2
>>>round(0.21, 2)
0.21

Caution !

>>>round(2.675, 2)
2.67

咦？bug啦？！当然不是。这里要明确一件事：计算机只认识0,1（量子计算机？懵）。就是说，我们输入的十进制数，在计算机内部都是用二进制来表示的。有的十进制数可以用二进制准确地表示出来,比如十进制的0.125可以表示为0b0.001；然而很多的小数是没法用二进制数精确表示的，计算机里存储的是它们的近似值，例如十进制的0.1，用二进制表示，可以近似为: 0b0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010，所以当我们把它换回十进制数以输出或者使用，得到的值就是0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625。也就是说，0.1在计算机里并不是刚好等于1/10的。你看：

>>>0.1+0.2
0.30000000000000004

同样，当我们运行round()函数，也是对计算机中实际存储的值近似取舍。2.67实际上近似为2.67499999999999982236431605997495353221893310546875，第三位小数是4，那么round(2.675, 2)就相当于round(2.674, 2)，结果当然是2.67。值得注意的是，这种现象是广泛存在于各种计算机和各种编程语言的，不是bug，只是有的语言选择了不让你看到。

3.3 Java中的舍入

Java提供了floor和ceil方法来实现向下和向上取整。

Math.floor(2.9)
Math.ceil(2.1)

这俩函数简单方便，居家旅行必备。另外Java中也有个round函数，可以实现各种复杂的取整。

System.out.println(Math.round(0.5));
//输出 1
System.out.println(Math.round(-0.5));
//输出 0
System.out.println(Math.round(-0.51));
//输出 -1

这什么鬼！Keep Calm and Carry On！
数学上有多种不同的策略来进行取整，比如我们体育老师教的四舍五入。各种取整策略的共同点就是要做真值作近似，那就会引入偏差。四舍五入显然并不是一种公平的策略（想想0~4的舍和5~9的得）。
有一个叫做银行家舍入(Banker’s Rounding)的东西，不造你听过没，反正我是最近才知道的。事实上.NET和VB6都是默认采用这种方式，而且IEEE 754默认采用这种Rounding。Banker’s Rounding 也就是 round to even 策略。
假设当前考虑那位的数字是d（其实d就是将不被保留的第一位），如果d<5，则舍(round to zero)；如果d>5，则入(round away from zero)；而当d==5时，就要根据d前后的数位来确定往哪边取了。

1) 如果d之后存在非零的数位，则入；
2)如果d之后不存在非零的数位，则看d之前的一个数位，用c表示：
　　a.如果c是奇数，则入；
　　b.如果c是偶数，则舍。

再来一把栗子，对下列数保留0位小数，
第一位小数就是d，整数位就是c：

BankRound(0.4)==0,　　BankRound(0.6)==1,　　BankRound(-0.4)==0,　　BankRound(-0.6)==-1
BankRound(1.5)==2.0,　　BankRound(-1.5)==-2.0,　　BankRound(2.5)==2.0,　　BankRound(-2.5)==-2.0
BankRound(1.51)==2.0,　　BankRound(-1.51)==-2.0,　　BankRound(2.51)==3.0,　　BankRound(-2.51)==-3.0

可以看出，Banker’s Rounding对正数和负数的处理是对称的，因此不会引入符号带来的偏差。另外它以均等的几率来舍入数位（考虑c, c有各一半的几率为奇数和偶数），所以多次舍入后与真值的差别会较小。

扯了这么多，跟Java的Math.round( )有什么关系呢？我也是写到这才发现，好像没什么软(luan)关系。因为它并没有遵循Banker’s rounding。而是按照以下策略进行取整：
当考虑的数位d不是5，d<5就舍，d>5则入。
当d==5：

a.如果d的右边有非零数位，则入；
b.如果d的右边没有非零数位，则 round to ceiling，即对负数舍，对正数入。

Java文档里是这么表述的

还有还有, 在Java里可以使用 BigDecimal 和 RoundingMode 实现更通用的取整方式。

double d=-2.5;
BigDecimal bd=new BigDecimal(d);
double nd=bd.setScale(0,
RoundingMode.HALF_EVEN).doubleValue();
System.out.println(nd);
//输出 -2.0

setScale 的第一个参数是保留的小数位数，第二个参数是舍入模式。可选的舍入模式有：
HALF_EVEN, 也就是银行家方式；
HALF_UP, 四舍五入；
HALF_DOWN, 五舍六入；
CEILING、FLOOR, 向正无穷、负无穷方向；
UP、DOWN*, 向零和远离零；
UNNECESSARY, 断言舍入后的值和原值相等，也就是不需要舍入。如果断言错了，抛出ArithmeticException异常。

先写到这，比较粗糙，但是希望你有所收获吧。欢迎讨论，有话好好说(￣▽￣)

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