概述

汉诺塔是一个经典的递归问题,虽说看人家写好的算法程序就那么几行,但着实理解有一定的难度。查阅了一些资料,参阅别人的思路,对汉诺塔算法进行一番梳理。

问题来源

有一个梵塔,塔内有三个座A、B、C,A座上有若干个盘子,盘子大小不等,大的在下,小的在上(如图)。

需要把这些个盘子从A座移到C座,中间可以借用B座,但每次只允许移动一个盘子,并且在移动过程中,3个座上的盘子始终保持大盘在下,小盘在上。

实例

我们从简单的来看一下如何移动。

只有一个盘子

傻子也知道,直接移动到C座就OK了。

有两个盘子 [1 2]

  1. 把1移动到B

  2. 把2移动到C

  3. 把1移动到C

有三个盘子 [1 2 3]

  1. 把1移动到C

  2. 把2移动到B

  3. 把1移动到B

  4. 把3移动到C

  5. 把1移动到A

  6. 把2移动到C

  7. 把1移动到C

虽说好像感觉有一定规律,但好像说不出来个所以然。

规律

对于上面的例子,我们可以总结出两点:

  1. 最后一步肯定是把1移动到C

  2. 如果盘子数大于1(1就直接移了),肯定要把最大的盘子上面的全部盘子放到B上,然后将最大的放到C上

由上面的两点,我们来探究一下递归关系。

假设有n个盘子,分别标记为 [1 2 3... n] 大数表示大盘子,已经在A座上放好。

初始状态

A:有n个盘子
B:空
C:空

我们现在有一个方法:hanoi(int n, String a, String b, String c) ,作用就是将n个盘子从a座借助b座移动到c座。

我们先不考虑它是怎么移过去的。

下面我们使用这个方法,结合上面我们总结的规律进行移动盘子。

第一步,将[1 2 3... n-1]个盘子从A移动到B上,再将 n 盘子移动到C上

hanoi(n-1, A, C, B)
// 将A上的n-1个盘子移动到B上
hanoi(1, A, B, C)
// 将A上的一个盘子移动到C

现在我们的盘子情况为

A:空
B:有n-1个盘子
C:最大的n盘子

由于最大的n盘子上可以放任何盘子,你可以完全忽略它的存在,不用管它,这时候的情形(忽略n盘子的存在)是不是跟初始状态类似呢(一个有盘子,其余的没有盘子)?是的,只不过顺序发生的变化并且盘子的数量减少了一个。

我们的总盘子数为:n-1

我们的B座就是初始状态的A座,A座就是初始状态的B座,C座还是C座。

第二步,将B座上的[1 2 3... n-1-1] 从B移动到A上,将n-1盘子从B移动到C

hanoi(n-2, B, C, A)
// 将B上的n-1-1个盘子移动到A上
hanoi(1, B, A, C)
// 将B上的一个盘子移动到C

现在我们的盘子情况为

A:有n-1-1个盘子
B:空
C:最大的n盘子和倒数第二个n-1盘子

C上的盘子已经摆好,可以认为是空座,是不是又回到了初始状态的情形呢?是的,盘子数减一。

第三步,将A座上的[1 2 3... n-2-1] 从A移动到B上,将n-2盘子从A移动到C

hanoi(n-3, A, C, B)
// 将A上的n-2-1个盘子移动到A上
hanoi(1, A, B, C)
// 将A上的一个盘子移动到C

又回到类似第一步执行后的情形了,如此反复,直到所有盘子都成功移动到C上为止。

经过上述的推敲,我们知道,每经过一步,盘子数少一个,并且A和B两座的位置互换(这里指他们轮流充当初始状态A的角色)。

代码实现(Java)

public static void hanoi(int n, String a, String b, String c) {
    if (n == 1) {
        System.out.println("将" + a + "最上面的盘子移动到" + c);
        return;
    }
    // 当前盘子在a上,将当前盘子数-1放到b上
    hanoi(n-1, a, c, b);
    // 剩下一个放到c上
    hanoi(1, a, b, c);
    // 当前盘子在b上,b是下一轮的a, a b 换位置,进行下一轮
    hanoi(n-1, b, a, c);
}

调用:

hanoi(1, "A", "B", "C");
// 将A最上面的盘子移动到C

hanoi(2, "A", "B", "C");
// 将A最上面的盘子移动到B
// 将A最上面的盘子移动到C
// 将B最上面的盘子移动到C

hanoi(3, "A", "B", "C");
// 将A最上面的盘子移动到C
// 将A最上面的盘子移动到B
// 将C最上面的盘子移动到B
// 将A最上面的盘子移动到C
// 将B最上面的盘子移动到A
// 将B最上面的盘子移动到C
// 将A最上面的盘子移动到C

解释一下a b cA B C的关系

A B C是实际的盘子座,a b c表示的是一种状态,即初始状态a 表示有待移动的若干个盘子的座,b c始终表示空座(c上可能有盘子,但已经摆好,可以认为为空)。

每移动一轮,A座与B座交换存盘子,若A有盘子,A就是参数a,若B有盘子,B就是参数a,C位置不动。

总之a 始终代表堆着盘子的座。


Chinaxiang
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这个人很懒,什么也没有留下。


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