斐波那契数列求和的js方案以及优化

在codewars上做了一道斐波那契数列求和的题目，做完之后做了一些简单的优化和用另一种方法实现。

题目

function fibonacci(n) {
    if(n==0 || n == 1)
        return n;
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}

以上函数使用递归的方式进行斐波那契数列求和，但效率十分低，很多值会重复求值。题目要求使用 memoization方案进行优化。

My Solution

memoization方案在《JavaScript模式》和《JavaScript设计模式》都有提到。memoization是一种将函数执行结果用变量缓存起来的方法。当函数进行计算之前，先看缓存对象中是否有次计算结果，如果有，就直接从缓存对象中获取结果；如果没有，就进行计算，并将结果保存到缓存对象中。

let fibonacci = (function() {
  let memory = []
  return function(n) {
      if(memory[n] !== undefined) {
        return memory[n]
    }
    return memory[n] = (n === 0 || n === 1) ? n : fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
  }
})()

使用闭包实现的memoization函数。测试通过之后，突然我有一个小疑问，如果将memory的类型由数组换成对象，它的运算效率会有什么变化？于是，我将memory的类型换成了对象，并写了一个函数测试两种数据类型的运算效率。

function speed(n) {
    let start = performance.now()
    fibonacci(n)
    let end = performance.now()
    console.log(end - start)
}

所有测试只在Chrome控制台测试,并且测试次数不多，结果不严谨，请多多包涵。

memory类型为数组时（单位：毫秒）：

speed(500)      // 0.8150000050663948
speed(5000)     // 3.1799999997019768
speed(7500)     // 4.234999991953373
speed(10000)    // 8.390000000596046

memory类型为对象时（单位：毫秒）：

speed(500)      // 0.32499999552965164
speed(5000)     // 1.6499999985098839
speed(7500)     // 2.485000006854534
speed(10000)    // 2.9999999925494194

虽然测试过程不严谨，但还是可以说明一点问题的。memory类型为对象是明显比类型为数组时，运算速度快很多。至于为什么对象操作比数组操作的速度快，请原谅我水平有限，暂时答不上来。（先挖好坑，以后回来填坑，逃）现在回来填坑，例如我们调用fibonacci(100)，这时候，fibonacci函数在第一次计算的时候会设置memory[100]=xxx，此时数组长度为101，而前面100项会初始化为undefined。正因为如此，memory的类型为数组的时候比类型是对象的时候慢。（这里药感谢hsfzxjy的提醒）

Best Solution

别人的解决方案给了我灵感，让我想出了一个缓存效率高很多的方案。

var fibonacci = (function () {
  var memory = {}
  return function(n) {
    if(n==0 || n == 1) {
      return n
    }
    if(memory[n-2] === undefined) {
      memory[n-2] = fibonacci(n-2)
    }
    if(memory[n-1] === undefined) {
      memory[n-1] = fibonacci(n-1)
    }
    return memory[n] = memory[n-1] + memory[n-2]
  }
})()

测试结果就不放了（因为我发现在Chrome控制台中运行测试代码时，输出结果不稳定）。不过，这里的缓存效率的确是提高了，前面的方案，一次计算最多缓存一个结果，而这个方案，一次计算最多缓存三个结果。从这个方面考虑，运算速度理论上是会比前面的方案快的。

动态规划解决方案

斐波那契数列求和除了可以用递归的方法解决，还可以用动态规划的方法解决。由于我是算法渣，对动态规划了解不多，只懂一点点皮毛，所以这里就不解释动态规划的概念了。（一不小心又挖了一个坑，逃）

直接贴代码好了：

function fibonacci(n) {
    let n1 = 1,
        n2 = 1,
        sum = 1
    for(let i = 3; i <= n; i += 1) {
        sum = n1 + n2
        n1 = n2
        n2 = sum
    }
    return sum
}

尾递归方案

在ES6规范中，有一个尾调用优化，可以实现高效的尾递归方案。（感谢李引证的提醒）

'use strict'
function fibonacci(n, n1, n2) {
    if(n <= 1) {
        return n2
    }
    return fibonacci(n - 1, n2, n1 + n2)
}

ES6的尾调用优化只在严格模式下开启，正常模式是无效的。

通项公式方案

斐波那契数列是有通项公式的，但通项公式中有开方运算，在js中会存在误差，而fib函数中的Math.round正式解决这一问题的。（感谢公子的指导）

function fibonacci(n){
    var sum = 0
    for(let i = 1; i <= n; i += 1) {
        sum += fib(i)
    }
    return sum

    function fib(n) {
      const SQRT_FIVE = Math.sqrt(5);
      return Math.round(1/SQRT_FIVE * (Math.pow(0.5 + SQRT_FIVE/2, n) - Math.pow(0.5 - SQRT_FIVE/2, n)));
    }
}

结语

只要注意细节，我们的代码还是有很大的优化空间的。有时候，你可能会疑惑，优化前后的性能没有明显的变化。我认为，那是你的应用规模或者数据量不够大而已，当它们大到一定程度的时候，优化的效果就很明显了。优化还是要坚持的，万一哪一天我们接手大型应用呢？