Python | 递归

说起递归，我觉得其实大部分人应该是不陌生的，递归广泛存在于生活中。
比如：

The woman in this image holds an object that contains a smaller image of her holding an identical object, which in turn contains a smaller image of herself holding an identical object, and so forth.[from wikipedia]

那么递归的定义是什么呢？
在数学和计算机科学中，我们给出一个比较传统的定义是：
它们有两个特性。

1. 一个基本特例，也称作平凡（一般）情况，它是递归终止的情形

2. 一个已定义好的规则来使其它非基本的情形转化为基本情形

可能这个上面的定义比较枯燥，那么我们用一个经典的例子来说明一下。

Fibonacci sequence

Fib(0) = 0, 是一个基本情况
Fib(o) = 1, 是第二个基本情况
所以 Fibonacci sequence 总共有两个基本情形
对于其它情形，我们定义 Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2)

到这里，估计读者已经对递归有一个大概的印象了，那么在Python中我们怎么用递归来实现某些特定的功能呢？

我首先用一些简单的例子来进行说明。

例1.

假如你要求序列数列 1, 2, 3, 4, ..., n 的和。比如对于n=4， 其和是10。那假如我们用递归来描述这种情况呢？
定义:

1. 基本情况：S(1) = 1

2. 其它情形: S(n) = S(n-1) + n
   所以在上述求和中S(n)的定义又用到了自己本身的定义，这就构成了递归。

我们用Python来实现以下上面的思路。

def Sum(n):
    if n==1:
    #对应基本情形
        return 1
    return Sum(n-1) + n#对应递归情形

>>> Sum(4)
10
>>> Sum(10)
55
>>> Sum(100)
5050

代码如上，可以看到，问题如果用递归来解决的话，可以与现实很好的结合，因为现实中有很多问题也是递归定义的。
此外，使用递归编程也比较简单。

例2.

经典的求阶乘

定义 F(n) 为阶乘函数。

基本情形: F(0) = 1, F(1) = 1

其它情形: F(n) = F(n-1) * n

实现:

def F(n):
    if n==0 or n==1:
    #对应基本情形
        return 1
    return F(n-1)*n#对应递归情形

>>> F(4)
24
>>> F(10)
3628800

例3.

求 斐波那契数列

定义Fib(n) 为斐波那契数列

基本情形:

Fib(0) = 1, Fib(1) = 1

其它情形:

Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)

实现:

def Fib(n):
    if n==0 or n==1:
        return 1
    return Fib(n-1)+Fib(n-2)

>>> Fib(10)
89
>>> Fib(8)
34
>>> 

除此以外，接下来的几道题也可以用递归求解，虽然可能在有些问题上，递归并不是最合适的工具，可以使用迭代得到比递归更为高效的算法。

例4.

计算s=a+aa+aaa+aaaa+aa...a，其中 a是一个数字。
其中，a 以及 n 由用户输入，但是我们在这里就直接给定了。

定义：
函数 SSS(a, n) 的值为上述所求值

基本情形：

SSS(a, 1) = a

其它情形:
SSS(a, n) = SSS(a, n-1) + a...a(共n项)

def SSS(a, n):

    #这里我说明一下，直接用input函数得到的就是字符串，除非你已经做了转换
    #所以,我们设定a、n都是字符串
    n = int(n)#转换
    if n == 1:
        return int(a)
    return SSS(a, n-1) + int(a * n)#请思考这里a*n

>>> SSS('2', '5')
24690
>>> SSS('2', '1')
2
>>> SSS('2', '2')
24
>>> 

例5.

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。比如排列[1,4,3,2]中，4在3前面，但4>3，则4和3逆序，同理，4和2逆序，3和2逆序，共有3对逆序，因此这组排列的逆序数为3。现在请你设计一个程序，判断用户输入的数组的逆序数。

定义：
OP(seq, n)为序列seq中前n项的逆序数

基本情形:
OP(seq[1...n], 1) = 0，对于只有一个元素的集合，逆序数必然只有0

其它情形:
OP(seq[1...n], n) = OP(seq[1...n, n-1] + F(n)，其中，F(n)是n关于seq[1...n-1]的逆序数.

实现:

def OP(seq, n):
    if n == 1:
        return 0
    #不为0
    Fn = 0
    for i in range(0, n-1):
        if seq[n-1] < seq[i]:
            Fn+=1
    return OP(seq, n-1)+Fn

>>> s = [5, 4, 3, 2, 1]
>>> s
[5, 4, 3, 2, 1]
>>> OP(s, len(s))
10
>>> 

例6.

输入某年某月某日，判断这一天是这一年的第几天？

假如我们要用递归实现这样的程序，该怎么考虑呢？

首先，我们得定义出我们的递归函数，它有三个变量，年，月，日。

定义:WhichDay(year, month, day)

基本情况: WhichDay(year, month, day) 当month = 1时，可以看出，此时该函数的值为 day

其它情形:
WhichDay(year, month, day) = WhichDay(year, month-1, F(month-1))+day

请注意,我在递归式子中使用的F(month-1), 这个代表(month-1)这一月的总天数。

实现:

F = { 1:31, 2: 28, 3:31, 4:30, 5:31, 6:30, 7:31, 8:31, 9:30, 10: 31, 11: 30, 12: 31}
def WhichDay(year, month, day):
    if month == 1:
        return day
    flag = 0#二月是否闰年标志
    if month == 3:
        #二月特殊处理
        #这里month等于3请读者思考
        if (year % 4 == 0 and year % 100!=0) or year % 400 == 0:
            flag = 1#判断闰年
    return WhichDay(year, month-1, F[month-1]+flag)+day

>>> WhichDay(2016, 2, 1)
32
>>> WhichDay(2016, 11, 8)
313
>>> WhichDay(2016, 12, 31)
366
>>> 

虽然上面的问题并不是很适合使用递归来实现，但是我主要是想跟大家分享一个递归解决问题中的思路，以及递归是一个很强大的工具，但是同时会产生很严重的效率问题。关于这一点，可以查看递归优化，可以很大程度上改善递归的效率。

希望读者看完这篇教程，可以有所收获，谢谢。