计算机底层负数实现

你真的了解Java中的负数？

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一、Java中如何编码负数？

Java采用”2的补码“(Two's Complement)编码负数，它是一种数值的编码方法，要分二步完成：第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如，+8的二进制编码是00001000，取反后就是11110111。第二步，将上一步得到的值加1。11110111就变成11111000。所以，00001000的2的补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。关于“2的补码”的详细信息，请参考阮一峰的博文《关于2的补码》，见附页

二、什么是符号扩展(Sign Extension)?

符号扩展（Sign Extension）用于在数值类型转换时扩展二进制位的长度，以保证转换后的数值和原数值的符号（正或负）和大小相同，一般用于较窄的类型（如byte）向较宽的类型（如int）转换。扩展二进制位长度指的是，在原数值的二进制位左边补齐若干个符号位（0表示正，1表示负）。

举例来说，如果用6个bit表示十进制数10，二进制码为"00 1010"，如果将它进行符号扩展为16bits长度，结果是"0000 0000 0000 1010"，即在左边补上10个0（因为10是正数，符号为0），符号扩展前后数值的大小和符号都保持不变；如果用10bits表示十进制数-15，使用“2的补码”编码后，二进制码为"11 1111 0001"，如果将它进行符号扩展为16bits，结果是"1111 1111 1111 0001",即在左边补上6个1（因为-15是负数，符号为1），符号扩展前后数值的大小和符号都保持不变。

三、Java类型转换规则

1. Java中整型字面量
   Java中int型字面量的书写方式有以下几种：

   • 十进制方式，直接书写十进制数字

   • 八进制方式，格式以0打头，例如012表示十进制10

   • 十六进制方式，格式为0x打头，例如0xff表示十进制255=15x16^1+15x16^0

   需要注意的是，在Java中012和0xff返回的都是int型数据，即长度是32位。

2. Java的数值类型转换规则
   这个规则是《Java解惑》总结的：如果最初的数值类型是有符号的，那么就执行符号扩展；如果是char类型，那么不管它要被转换成什么类型，都执行零扩展。还有另外一条规则也需要记住，如果目标类型的长度小于源类型的长度，则直接截取目标类型的长度。例如将int型转换成byte型，直接截取int型的右边8位。
   （char类型无符号，因此执行零扩展）

四、解析“多重转型”问题

连续三次类型转换的表达式如下：

(int)(char)(byte)-1

1. int(32位) -> byte(8位)
   -1是int型的字面量，根据“2的补码”编码规则，编码结果为0xffffffff，即32位全部置1。转换成byte类型时，直接截取最后8位，所以byte结果为0xff，对应的十进制值是-1.

2. byte(8位) -> char(16位)
   由于byte是有符号类型，所以在转换成char型（16位）时需要进行符号扩展，即在0xff左边连续补上8个1（1是0xff的符号位），结果是0xffff。由于char是无符号类型，所以0xffff表示的十进制数是65535。

3. char(16位) -> int(32位)
   由于char是无符号类型，转换成int型时进行零扩展，即在0xffff左边连续补上16个0，结果是0x0000ffff,对应的十进制数是65535。

五、几个转型的例子

在进行类型转换时，一定要了解表达式的含义，不能光靠感觉。最好的方法是将你的意图明确表达出来。
在将一个char型数值c转型为一个宽度更宽的类型时，并且不希望有符号扩展，可以如下编码：

int i = c & 0xffff;
上文曾提到过，0xffff是int型字面量，所以在进行&操作之前，编译器会自动将c转型成int型，即在c的二进制编码前添加16个0，然后再和0xffff进行&操作，所表达的意图是强制将前16置0，后16位保持不变。虽然这个操作不是必须的，但是明确表达了不进行符号扩展的意图。

如果需要符号扩展，则可以如下编码：
int i = (short)c; //Cast causes sign extension
首先将c转换成short类型，它和char是 等宽度的，并且是有符号类型，再将short类型转换成int类型时，会自动进行符号扩展，即如果short为负数，则在左边补上16个1，否则补上16个0.

如果在将一个byte数值b转型为一个char时，并且不希望有符号扩展，那么必须使用一个位掩码来限制它：
char c = (char)(b & 0xff);
(b & 0xff)的结果是32位的int类型，前24被强制置0，后8位保持不变，然后转换成char型时，直接截取后16位。这样不管b是正数还是负数，转换成char时，都相当于是在左边补上8个0，即进行零扩展而不是符号扩展。

如果需要符号扩展，则编码如下：
char c = (char)b; //Sign extension is performed
此时为了明确表达需要符号扩展的意图，注释是必须的。

六、小结

实际上在数值类型转换时，只有当遇到负数时才会出现问题，根本原因就是Java中的负数不是采用直观的方式进行编码，而是采用“2的补码”方式，这样的好处是加法和减法操作可以同时使用加法电路完成，但是在开发时却会遇到很多奇怪的问题，例如(byte)128的结果是-128，即一个大的正数，截断后却变成了负数。3.2节中引用了一些转型规则，应用这些规则可以很容地解决常见的转型问题。

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关于2的补码

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问一个基本的问题。

负数在计算机中如何表示？

举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，那么-8怎么表示呢？

很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是10001000。

但是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采用2的补码（Two's Complement）表示负数。

什么是2的补码？

它是一种数值的转换方法，要分二步完成：

第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如，00001000的相反值就是11110111。
第二步，将上一步得到的值加1。11110111就变成11111000。

所以，00001000的2的补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。
不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？
昨天，我在一本书里又看到了这个问题，然后就花了一点时间到网上找资料，现在总算彻底搞明白了。

2的补码的好处

首先，要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数，其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种最方便的方式。
2的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。

还是以-8作为例子。
假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？
随便写一个计算式，16 + (-8) = ?
16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：
　０００１００００
[phone]
－－－－－－－－－
　１００１１０００
可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。

现在，再来看2的补码表示法。
　０００１００００
[phone]
－－－－－－－－－
１００００１０００
可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

2的补码的本质

在回答2的补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。
要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。
已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：
　００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。
所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：
１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１１０００
进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：
　１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１０１１１
＋０００００００１
－－－－－－－－－
　１１１１１０００
2的补码的两个转换步骤就是这么来的。

另：
＋４：０００００１００
＋３：００００００１１
＋２：００００００１０
＋１：０００００００１
　０：００００００００
－１：１１１１１１１１
－２：１１１１１１１０
－３：１１１１１１０１
－４：１１１１１１００
观察规律得出

为什么正数加法适用于2的补码？

实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成。
Y的2的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：
X-Y
= X + (11111111-Y) + 1
= X - Y + 100000000
= X - Y + 00000000
= X - Y

这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。