扩展 KMP 算法

原文链接：https://ethsonliu.com/2019/06...

前文已经介绍了经典的KMP算法，本文继续介绍KMP算法的扩展，即扩展KMP算法。

问题定义：给定两个字符串S和T（长度分别为n和m），下标从0开始，定义extend[i]等于S[i]...S[n-1]与T的最长相同前缀的长度，求出所有的extend[i]。举个例子，看下表：

i	0	1	2	3	4	5	6	7
S	a	a	a	a	a	b	b	b
T	a	a	a	a	a	c
extend[i]	5	4	3	2	1	0	0	0

为什么说这是KMP算法的扩展呢？显然，如果在S的某个位置i有extend[i]等于m，则可知在S中找到了匹配串T，并且匹配的首位置是i。而且，扩展KMP算法可以找到S中所有T的匹配。接下来具体介绍下这个算法。

一：算法流程

（1）

如上图，假设当前遍历到S串位置i，即extend[0]...extend[i - 1]这i个位置的值已经计算得到。设置两个变量，a和p。p代表以a为起始位置的字符匹配成功的最右边界，也就是"p = 最后一个匹配成功位置 + 1"。相较于字符串T得出，S[a...p)等于T[0...p-a)。

再定义一个辅助数组int next[]，其中next[i]含义为：T[i]...T[m - 1]与T的最长相同前缀长度，m为串T的长度。举个例子：

i	0	1	2	3	4	5
T	a	a	a	a	a	c
next[i]	6	4	3	2	1	0

（2）

S[i]对应T[i - a]，如果i + next[i - a] < p，如上图，三个椭圆长度相同，根据next数组的定义，此时extend[i] = next[i - a]。

（3）

如果i + next[i - a] == p呢？如上图，三个椭圆都是完全相同的，S[p] != T[p - a]且T[p - i] != T[p - a]，但S[p]有可能等于T[p - i]，所以我们可以直接从S[p]与T[p - i]开始往后匹配，加快了速度。

（4）

如果i + next[i - a] > p呢？那说明S[i...p)与T[i-a...p-a)相同，注意到S[p] != T[p - a]且T[p - i] == T[p - a]，也就是说S[p] != T[p - i]，所以就没有继续往下判断的必要了，我们可以直接将extend[i]赋值为p - i。

（5）最后，就是求解next数组。我们再来看下next[i]与extend[i]的定义：

• next[i]： T[i]...T[m - 1]与T的最长相同前缀长度；
• extend[i]： S[i]...S[n - 1]与T的最长相同前缀长度。

恍然大悟，求解next[i]的过程不就是T自己和自己的一个匹配过程嘛，下面直接看代码。

二：代码

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

/* 求解 T 中 next[]，注释参考 GetExtend() */
void GetNext(string & T, int & m, int next[])
{
    int a = 0, p = 0;
    next[0] = m;

    for (int i = 1; i < m; i++)
    {
        if (i >= p || i + next[i - a] >= p)
        {
            if (i >= p)
                p = i;

            while (p < m && T[p] == T[p - i])
                p++;

            next[i] = p - i;
            a = i;
        }
        else
            next[i] = next[i - a];
    }
}

/* 求解 extend[] */
void GetExtend(string & S, int & n, string & T, int & m, int extend[], int next[])
{
    int a = 0, p = 0;
    GetNext(T, m, next);

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (i >= p || i + next[i - a] >= p) // i >= p 的作用：举个典型例子，S 和 T 无一字符相同
        {
            if (i >= p)
                p = i;

            while (p < n && p - i < m && S[p] == T[p - i])
                p++;

            extend[i] = p - i;
            a = i;
        }
        else
            extend[i] = next[i - a];
    }
}

int main()
{
    int next[100];
    int extend[100];
    string S, T;
    int n, m;
    
    while (cin >> S >> T)
    {
        n = S.size();
        m = T.size();
        GetExtend(S, n, T, m, extend, next);

        // 打印 next
        cout << "next:   ";
        for (int i = 0; i < m; i++)
            cout << next[i] << " ";
 
        // 打印 extend
        cout << "\nextend: ";
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << extend[i] << " ";

        cout << endl << endl;
    }
    return 0;
}

数据测试如下：

aaaaabbb
aaaaac
next:   6 4 3 2 1 0
extend: 5 4 3 2 1 0 0 0

abc
def
next:   3 0 0
extend: 0 0 0