模型评价(一) AUC大法

问题：

AUC是什么
AUC能拿来干什么
AUC如何求解（深入理解AUC）

AUC是什么

混淆矩阵(Confusion matrix)

混淆矩阵是理解大多数评价指标的基础，毫无疑问也是理解AUC的基础。丰富的资料介绍着混淆矩阵的概念，这里用一个经典图来解释混淆矩阵是什么。
这里写图片描述
显然，混淆矩阵包含四部分的信息：

True negative(TN)，称为真阴率，表明实际是负样本预测成负样本的样本数
False positive(FP)，称为假阳率，表明实际是负样本预测成正样本的样本数
False negative(FN)，称为假阴率，表明实际是正样本预测成负样本的样本数
True positive(TP)，称为真阳率，表明实际是正样本预测成正样本的样本数

对照着混淆矩阵，很容易就能把关系、概念理清楚，但是久而久之，也很容易忘记概念。不妨我们按照位置前后分为两部分记忆，前面的部分是True／False表示真假，即代表着预测的正确性，后面的部分是positive／negative表示正负样本，即代表着预测的结果，所以，混淆矩阵即可表示为正确性－预测结果的集合。现在我们再来看上述四个部分的概念（均代表样本数，下述省略）：

TN，预测是负样本，预测对了
FP，预测是正样本，预测错了
FN，预测是负样本，预测错了
TP，预测是正样本，预测对了

几乎我所知道的所有评价指标，都是建立在混淆矩阵基础上的，包括准确率、精准率、召回率、F1-score，当然也包括AUC。

ROC曲线

事实上，要一下子弄清楚什么是AUC并不是那么容易，首先我们要从ROC曲线说起。对于某个二分类分类器来说，输出结果标签（0还是1）往往取决于输出的概率以及预定的概率阈值，比如常见的阈值就是0.5，大于0.5的认为是正样本，小于0.5的认为是负样本。如果增大这个阈值，预测错误（针对正样本而言，即指预测是正样本但是预测错误，下同）的概率就会降低但是随之而来的就是预测正确的概率也降低；如果减小这个阈值，那么预测正确的概率会升高但是同时预测错误的概率也会升高。实际上，这种阈值的选取也一定程度上反映了分类器的分类能力。我们当然希望无论选取多大的阈值，分类都能尽可能地正确，也就是希望该分类器的分类能力越强越好，一定程度上可以理解成一种鲁棒能力吧。
为了形象地衡量这种分类能力，ROC曲线横空出世！如下图所示，即为一条ROC曲线（该曲线的原始数据第三部分会介绍）。现在关心的是：

横轴：False Positive Rate（假阳率，FPR）
纵轴：True Positive Rate（真阳率，TPR）

这里写图片描述

假阳率，简单通俗来理解就是预测为正样本但是预测错了的可能性，显然，我们不希望该指标太高。
$$FPR=\frac{FP}{TN+FP}$$
真阳率，则是代表预测为正样本但是预测对了的可能性，当然，我们希望真阳率越高越好。
$$TPR=\frac{TP}{TP+FN}$$

显然，ROC曲线的横纵坐标都在[0,1]之间，自然ROC曲线的面积不大于1。现在我们来分析几个特殊情况，从而更好地掌握ROC曲线的性质：

(0,0)：假阳率和真阳率都为0，即分类器全部预测成负样本
(0,1)：假阳率为0，真阳率为1，全部完美预测正确，happy
(1,0)：假阳率为1，真阳率为0，全部完美预测错误，悲剧
(1,1)：假阳率和真阳率都为1，即分类器全部预测成正样本
TPR＝FPR，斜对角线，预测为正样本的结果一半是对的，一半是错的，代表随机分类器的预测效果

于是，我们可以得到基本的结论：ROC曲线在斜对角线以下，则表示该分类器效果差于随机分类器，反之，效果好于随机分类器，当然，我们希望ROC曲线尽量除于斜对角线以上，也就是向左上角（0,1）凸。

AUC(Area under the ROC curve)

ROC曲线一定程度上可以反映分类器的分类效果，但是不够直观，我们希望有这么一个指标，如果这个指标越大越好，越小越差，于是，就有了AUC。AUC实际上就是ROC曲线下的面积。AUC直观地反映了ROC曲线表达的分类能力。

AUC ＝ 1，代表完美分类器
0.5 < AUC < 1，优于随机分类器
0 < AUC < 0.5，差于随机分类器

AUC能拿来干什么

从作者有限的经历来说，AUC最大的应用应该就是点击率预估（CTR）的离线评估。CTR的离线评估在公司的技术流程中占有很重要的地位，一般来说，ABTest和转全观察的资源成本比较大，所以，一个合适的离线评价可以节省很多时间、人力、资源成本。那么，为什么AUC可以用来评价CTR呢？我们首先要清楚两个事情：

CTR是把分类器输出的概率当做是点击率的预估值，如业界常用的LR模型，利用sigmoid函数将特征输入与概率输出联系起来，这个输出的概率就是点击率的预估值。内容的召回往往是根据CTR的排序而决定的。
AUC量化了ROC曲线表达的分类能力。这种分类能力是与概率、阈值紧密相关的，分类能力越好（AUC越大），那么输出概率越合理，排序的结果越合理。

我们不仅希望分类器给出是否点击的分类信息，更需要分类器给出准确的概率值，作为排序的依据。所以，这里的AUC就直观地反映了CTR的准确性（也就是CTR的排序能力）

AUC如何求解

步骤如下：

得到结果数据，数据结构为：（输出概率，标签真值）
对结果数据按输出概率进行分组，得到（输出概率，该输出概率下真实正样本数，该输出概率下真实负样本数）。这样做的好处是方便后面的分组统计、阈值划分统计等
对结果数据按输出概率进行从大到小排序
从大到小，把每一个输出概率作为分类阈值，统计该分类阈值下的TPR和FPR
微元法计算ROC曲线面积、绘制ROC曲线

代码如下所示：

import pylab as pl
from math import log,exp,sqrt
import itertools
import operator

def read_file(file_path, accuracy=2):
    db = []  #(score,nonclk,clk)
    pos, neg = 0, 0 #正负样本数量
    #读取数据
    with open(file_path,'r') as fs:
        for line in fs:
            temp = eval(line)
            #精度可控
            #score = '%.1f' % float(temp[0])
            score = float(temp[0])
            trueLabel = int(temp[1])
            sample = [score, 0, 1] if trueLabel == 1 else [score, 1, 0]
            score,nonclk,clk = sample
            pos += clk #正样本
            neg += nonclk #负样本
            db.append(sample)
    return db, pos, neg

def get_roc(db, pos, neg):
    #按照输出概率，从大到小排序
    db = sorted(db, key=lambda x:x[0], reverse=True)
    file=open('data.txt','w')
    file.write(str(db))
    file.close()
    #计算ROC坐标点
    xy_arr = []
    tp, fp = 0., 0.
    for i in range(len(db)):
        tp += db[i][2]
        fp += db[i][1]
        xy_arr.append([fp/neg,tp/pos])
    return xy_arr

def get_AUC(xy_arr):
    #计算曲线下面积
    auc = 0.
    prev_x = 0
    for x,y in xy_arr:
        if x != prev_x:
            auc += (x - prev_x) * y
            prev_x = x
    return auc

def draw_ROC(xy_arr):
    x = [_v[0] for _v in xy_arr]
    y = [_v[1] for _v in xy_arr]
    pl.title("ROC curve of %s (AUC = %.4f)" % ('clk',auc))
    pl.xlabel("False Positive Rate")
    pl.ylabel("True Positive Rate")
    pl.plot(x, y)# use pylab to plot x and y
    pl.show()# show the plot on the screen

数据：提供的数据为每一个样本的（预测概率，真实标签）tuple
数据链接：https://pan.baidu.com/s/1c1FUzVM，密码1ax8
计算结果：AUC＝0.747925810016，与Spark MLLib中的roc_AUC计算值基本吻合
当然，选择的概率精度越低，AUC计算的偏差就越大