揭秘四处碰壁小球之命运

有这么一个问题，初看起来人畜无害，但细思极恐，和大家分享。

分析

将小球的速度分解为沿X轴的v_x和沿Y轴的v_y。因正方形边长等于1，不妨令v_x = EB = a，v_y = FB = b。

小球可以从E左侧或者右侧返回。从E左侧返回时，小球沿两轴走过的路程都是偶数。写成方程就是：

$$\frac{2n}{b}=\frac{2m}{a},\ m,n \in \mathbb{N}.$$

因此小球从左侧返回初始点的充要条件是b/a是有理数。小球从左侧返回E点后，一切恢复到出发时的状态，后续动作只能是周而复始地运行下去。设n/m=b/a是最简分式，这个运动的周期就是2n/b。

从E右侧返回时，小球沿Y轴走过的路程仍是偶数，沿X轴走过的路程变成偶数加一次EB折返：

$$\frac{2n}{b} = \frac{2m+2a}{a},\ m,n \in \mathbb{N}.$$

因此小球从右侧返回初始点的充要条件是方程y/b = x/a + 1有自然数解。设最小解为x=p, y=q，则第一次从右侧返回的时间就是2q/b。小球从右侧出发，又从右侧原路返回，故小球必在途中某点掉头。这个点只能是角点。

注意这种情况并不要求b/a是有理数。

1. 若b/a是有理数，则由于运动的周期性，第一次右侧返回一定发生在第一次左侧返回之前，且后续交替从左侧和右侧返回。

2. 若b/a是无理数（例：a=√2/2，b=√2-1），则右侧返回一次后小球就再也不会回到E点了。

如果b/a是无理数且方程y/b = x/a + 1无自然数解，小球出发后永远不会返回。这种情况占绝大多数。

解方程的难度

通过以上讨论发现，小球的运动模式完全依赖于下面这两个方程的自然数解。

$$\frac{y}{b} = \frac{x}{a} \qquad \qquad \text{(1)}$$

$$\frac{y}{b} = \frac{x}{a} + 1 \qquad \ \, \text{(2)}$$

• 如果a、b都是有理数，方程(1)自然满足。方程(2)是一个线性整数方程，可以按照一定步骤求解或确认无解。

• 如果a、b之一是有理数而另一个是无理数，则两个方程都无解。

• 如果a、b都是无理数，方程(1)相当于判断实数的有理性，而根据维基百科，迄今人们还不知道π + e、π^√2等数是不是有理数。方程(2)的难度应该不低于方程(1)。

所以比如说你要是问 a=π-e, b=1/3 时，小球能返回吗？我的答案是不知道！

结论

通过以上讨论可总结出下表。

情况	解自然数方程 y/b = x/a	解自然数方程y/b = x/a + 1	周期	首次返回时间	首次返回碰撞次数	碰角点总次数
1	有最小解x=m,y=n	有最小解x=p,y=q	2n/b	2q/b	2(p+q)	∞
2	有最小解x=m,y=n	无解	2n/b	2n/b	2(m+n)	0
3	无解	有最小解x=p,y=q	∞	2q/b	2(p+q)	1
4	无解	无解	∞	∞	0	0

图例
情况1
情况2
情况3
情况4？