LZW压缩算法原理解析

hyuan

最近整理Github上以前胡乱写的代码,发现自己还写过压缩算法,大概是不知道什么时候用来练手的。里面我实现了哈夫曼树,LZW字典和算数编码三种压缩算法,时隔几年几乎没什么印象了,尤其是后两种连原理都基本忘了,所以把它们拎出来整理一下,也算是逼自己做个回忆。

本篇先讲LZW算法,Wiki里给出的介绍和样例其实还不错,不过我在网上并没有找到很多其它的比较清晰的讲解,很多都是贴贴代码和流程图了事,所以这里我用我个人的理解,把LZW的原理再整理一遍。

一个简单的例子

LZW编码 (Encoding) 的核心思想其实比较简单,就是把出现过的字符串映射到记号上,这样就可能用较短的编码来表示长的字符串,实现压缩,例如对于字符串:

ABABAB

可以看到子串AB在后面重复出现了,这样我们可以用一个特殊记号表示AB,例如数字2,这样原来的字符串就可以表示为:

AB22

这里我们称2是字串AB的记号(Symbol)。那么A和B有没有记号来表示?当然有,例如我们规定数字0表示A,数字1表示B。实际上最后得到的压缩后的数据应该是一个记号流 (Symbol Stream) :

0122

这样我们就有一个记号和字符串的映射表,即字典 (Dictionary) :

Symbol String
0 A
1 B
2 AB

有了压缩后的编码0122,结合字典,就能够很轻松地解码 (Decoding) 原字符串ABABAB。

当然在真正的LZW中A和B不会用数字0和1表示,而是它们的ASCII值。实际上LZW初始会有一个默认的字典,包含了所有256个8bit字符,单个字符的记号就是它自身,用数字表示就是ASCII值。在此基础上,编码过程中加入的新的记号的映射,从256开始,称为扩展表(Extended Dictionary)。在这个例子里是为了简单起见,只有两个基础字符,所以规定0表示A,1表示B,从记号2开始就是扩展项了。

字典的生成

这里有一个问题:为什么第一个AB不也用2表示?即表示为222,这样不又节省了一个记号?这个问题实际上引出的是LZW的一个核心思想,即压缩后的编码是自解释 (self-explaining) 的。什么意思?即字典是不会被写进压缩文件的,在解压缩的时候,一开始字典里除了默认的0->A和1->B之外并没有其它映射,2->AB是在解压缩的过程中一边加入的。这就要求压缩后的数据自己能告诉解码器,完整的字典,例如2->AB是如何生成的,在解码的过程中还原出编码时用的字典。

用上面的例子来说明,我们可以想象ABABAB编码的过程:

  1. 遇到A,用0表示,编码为0。
  2. 遇到B,用1表示,编码为1。
  3. 发现了一个子串AB,添加映射2->AB到字典里。
  4. 后面又出现了AB子串,都用2来编码。

以上过程只是一个概述,并非真正LZW编码过程,只是为了表示它的思想。可以看出最前面的A和B是用来生成表项2->AB的,所以它们必须被保留在压缩编码里,作为表项2->AB生成的“第一现场”。这样在解码0122的时候,解码器首先通过01直接解析出最前面A和B,并且生成表项2->AB,这样才能将后面出现的2都解析为AB。实际上解码器是自己还原出了编码时2->AB生成的过程。

编码和解码都是从前往后步步推进的,同时生成字典,所以解码的过程也是一个不断还原编码字典的过程。解码器一边解码,向后推进,一边在之前已经解出的原始数据上重现编码的过程,构建出编码时用的字典。

LZW算法详解

下面给出完整的LZW编码和解码的过程,结合一个稍微复杂一点的例子,来说明LZW的原理,重点是理解解码中的每一步是如何对应和还原编码中的步骤,并恢复编码字典的。

编码算法

编码器从原字符串不断地读入新的字符,并试图将单个字符或字符串编码为记号 (Symbol)。这里我们维护两个变量,一个是P (Previous),表示手头已有的,还没有被编码的字符串,一个是C (current),表示当前新读进来的字符

 1. 初始状态,字典里只有所有的默认项,例如0->a,1->b,2->c。此时P和C都是空的。
 2. 读入新的字符C,与P合并形成字符串P+C。
 3. 在字典里查找P+C,如果:
    - P+C在字典里,P=P+C。
    - P+C不在字典里,将P的记号输出;在字典中为P+C建立一个记号映射;更新P=C。
 4. 返回步骤2重复,直至读完原字符串中所有字符。

以上表示的是编码中间的一般过程,在收尾的时候有一些特殊的处理,即步骤2中,如果到达字符串尾部,没有新的C读入了,则将手头的P对应的记号输出,结束。

编码过程的核心就在于第3步,我们需要理解P究竟是什么。P是当前维护的,可以被编码为记号的子串。注意P是可以被编码为记号,但还并未输出。新的字符C不断被读入并添加到P的尾部,只要P+C仍然能在字典里找到,就不断增长更新P=P+C,这样就能将一个尽可能长的字串P编码为一个记号,这就是压缩的实现。当新的P+C无法在字典里找到时,我们没有办法,输出已有的P的编码记号,并为新子串P+C建立字典表项。然后新的P从单字符C开始,重新增长,重复上述过程。

这里用一个例子来说明编码的过程,之所以用小写的字符串是为了和P,C区分。

ababcababac

初始状态字典里有三个默认的映射:

Symbol String
0 a
1 b
2 c

开始编码:

Step P C P+C P+C in Dict ? Action Output
1 - a a Yes 更新P=a -
2 a b ab No 添加3->ab,更新P=b 0
3 b a ba No 添加4->ba,更新P=a 1
4 a b ab Yes 更新P=ab -
5 ab c abc No 添加5->abc,更新P=c 3
6 c a ca No 添加6->ca,更新P=a 2
7 a b ab Yes 更新P=ab -
8 ab a aba No 添加7->aba,更新P=a 3
9 a b ab Yes 更新P=ab -
10 ab a aba Yes 更新P=aba -
11 aba c abac No 添加8->abac,更新P=c 7
12 c - - - - 2

注意编码过程中的第3-4步,第7-8步以及8-10步,子串P发生了增长,直到新的P+C无法在字典中找到,则将当前的P输出,P则更新为单字符C,重新开始增长。

输出的结果为0132372,完整的字典为:

Symbol String
0 a
1 b
2 c
3 ab
4 ba
5 abc
6 ca
7 aba
8 abac

这里用一个图来展示原字符串是如何对应到压缩后的编码的:
图片

--

解码算法

解码的过程比编码复杂,其核心思想在于解码需要还原出编码时的用的字典。因此要理解解码的原理,必须分析它是如何对应编码的过程的。下面首先给出算法:

解码器的输入是压缩后的数据,即记号流 (Symbol Stream)。类似于编码,我们仍然维护两个变量pW (previous word) 和cW (current word),后缀W的含义是word,实际上就是记号 (Symbol),一个记号就代表一个word,或者说子串。pW表示之前刚刚解码的记号;cW表示当前新读进来的记号。

注意cW和pW都是记号,我们用Str(cW)和Str(pW)表示它们解码出来的原字符串。

1. 初始状态,字典里只有所有的默认项,例如0->a,1->b,2->c。此时pW和cW都是空的。
2. 读入第一个的符号cW,解码输出。注意第一个cW肯定是能直接解码的,而且一定是单个字符。
3. 赋值pW=cW。
4. 读入下一个符号cW。
5. 在字典里查找cW,如果:
   a. cW在字典里:
     (1) 解码cW,即输出 Str(cW)。
     (2) 令P=Str(pW),C=Str(cW)的**第一个字符**。
     (3) 在字典中为P+C添加新的记号映射。
   b. cW不在字典里:
     (1) 令P=Str(pW),C=Str(pW)的**第一个字符**。
     (2) 在字典中为P+C添加新的记号映射,这个新的记号一定就是cW。
     (3) 输出P+C。
6. 返回步骤3重复,直至读完所有记号。

显然,最重要的是第5步,也是最难理解的。在这一步中解码器不断地在已经破译出来的数据上,模拟编码的过程,还原出字典。我们还是结合之前的例子来说明,我们需要从记号流

0 1 3 2 3 7 2

解码出:

a b ab c ab aba c

这里我用空格表示出了记号是如何依次对应解码出来的子串的,当然在解码开始时我们根本不知道这些,我们手里的字典只有默认项,即:

Symbol String
0 a
1 b
2 c

解码开始:
首先读取第一个记号cW=0,解码为a,输出,赋值pW=cW=0。然后开始循环,依此读取后面的记号:

Step pW cW cW in Dict ? Action Output
1 0 1 Yes P=a,C=b,P+C=ab,添加3->ab b
2 1 3 Yes P=b,C=a,P+C=ba,添加4->ba ab
3 3 2 Yes P=ab,C=c,P+C=abc,添加5->abc c

好,先解码到这里,我们已经解出了前5个字符 a b ab c。一步一步走下来我们可以看出解码的思想。首先直接解码最前面的a和b,然后生成了3->ab这一映射,也就是说解码器利用前面已经解出的字符,如实还原了编码过程中字典的生成。这也是为什么第一个a和b必须保留下来,而不能直接用3来编码,因为解码器一开始根本不知道3表示ab。而第二个以及以后的ab就可以用记号3破译出来,因为此时我们已经建立了3->ab的关系。

仔细观察添加新映射的过程,就可以看出它是如何还原编码过程的。解码步骤5.a中,P=Str(pW),C=Str(cW)的第一个字符,我们可以用下图来说明:
图片描述

注意P+C构成的方式,取前一个符号pW,加上当前最新符号cW的第一个字符。这正好对应了编码过程中遇到P+C不在字典中的情况:将P编码为pW输出,并更新P=C,P从单字符C开始重新增长。

到目前为止,我们只用到了解码步骤5.a的情况,即每次新读入的cW都能在字典里找到,只有这样我们才能直接解码cW输出,并拿到cW的第一个字符C,与P组成P+C。但实际上还有一种可能就是5.b中的cW不在字典里。为什么cW会不在字典里?回到例子,我们此时已经解出了5个字符,继续往下走:

Step pW cW cW in Dict ? Action Output
4 2 3 Yes P=c,C=a,P+C=ca,添加6->ca ab
5 3 7 No P=ab,C=a,P+C=aba,添加7->aba aba
6 7 2 Yes P=aba,C=c,P+C=abac,添加8->abac c

好到此为止,后面的 ab aba c 也解码出来了,解码过程结束。这里最重要的就是Step-5,新读入一个cW为7,可7此时并不在字典里。当然我们事实上知道7最终应该对应aba,可是解码器应该如何反推出来?

为什么解码进行到这一步7->aba还没有被编入字典?因为解码比编码有一步的延迟,实际上aba正是由当前的P=ab,和那个还未知的cw=7的第一个字符C组成的,所以cW映射的就是这个即将新加入的子串P+C,也因此cW的第一个字符就是pW的第一个字符a,cW就是aba。

我们看到解码器在这里做了一个推理,既然cW到目前为止还没有被加入字典,可解码却偏偏遇到了,说明cW的映射并不是很早之前加入的,而是就在当前这一步。对应到编码的过程,就是新的cW映射,即7->aba刚被写进字典,紧接着后面的一个字串就用到了它。读者可以对照后半部分 ab aba c 编码的过程,对比解码过程反推,理解它的原理。这也是解码算法中最难的部分。

总结

好了,LZW的编码和解码过程到此就讲解完毕了。其实它的思想本身是简单的,就是将原始数据中的子串用记号表示,类似于编一部字典。编码过程中如何切割子串,建立映射的方式,其实并不是唯一的,但是LZW算法的严格之处在于,它提供了一种方式,使得压缩后的编码能够唯一地反推出编码过程中建立的字典,从而不必将字典本身写入压缩文件。试想,如果字典也需要写入压缩文件,那它占据的体积本身就会很大,可能到最后起不到压缩的效果。下一章我会讲解另一种压缩算法,算数编码

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