背包九讲实例：01背包问题

背包九讲：P01: 01背包问题

实例原帖：Solving 0/1 knapsack problem

《背包九讲》没有实例无法真正理解，所以找了实例与大家分享。

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问题

你的背包承重为 Capacity, 现在有n个物品，物品重量 w[n], 物品价值 v[n]。如何选择物品价值最大？

特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放, 即01.

实例输入：背包承重量10，5件物品，重量[2,3,3,4,6], 价值[1,2,5,9,4].

动态规划表格

表格说明

• 第一行： 表示最大允许重量 0 ～ 10。

  • 比如7那一列 表示我们将背包的最大承重量当作7来求解。

• 第一列： 表示物品的 重量（价值）。

  • 比如第四行 3（5）： 我们只考虑物品集合{ 2(1)，3(2)，3(5)}，剩下的 4（9），6（4） 当做不存在。

• 表格中具体某一个数，表示当前行列条件下能获取的最大价值。

  • 比如第五行=4（9）第八列=6， 意味着当背包最大承重量为6，从 2（1），3（2），3（5），4（9）中挑选物品可以获取的最大价值，即10.

如何生成表格

比如最大承重量为5，第三行只考虑2（1），3（2）的情况：

• 如果不拿3（2）， 那么获取的价值可以从上一行得到，即只有2（1）的情况，结果为1.
• 如果拿3（2），那么获取的价值为 2 + 最大承重量为(5-3)=2的时候拿除了3（2）的物品能获得的最大价值，这个数值能从上一行最大承重2的那列获取，结果为3.

综上，应该拿3（2），最大价值为3.

总结

第i行，j列的数值应该等于： max (dp[i-1][j], v[i]+ dp[i-1][j-w[i]])

代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// Input
// 5(n) 10(capacity)
// 1 2 5 9 4 (v[n])
// 2 3 3 4 6 (w[n])

int maxValue (int n , int c , vector<int> v, vector<int> w){
    int **dp = new int*[n];

    for(int i = 0; i < n; i++){
        dp[i] = new int[c+1];
        for(int j = 0 ; j <= c; j++)
            dp[i][j] = 0;
    }

    // Populate the first row
    for(int j = 0 ; j <= c ; j++)
        dp[0][j] += j >= w[0] ? v[0] : 0;

    // Populate the rest
    for(int i = 1 ; i < n; i++ ){
        for(int j = 0; j <= c; j++){
            if(j<w[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
            else dp[i][j] = max(v[i]+dp[i-1][j-w[i]], dp[i-1][j]);
        }
    }

    return dp[n-1][c];
}

int main() {
    int n = 0, capa = 0;
    cin >> n >> capa;

    vector<int> values(n,0);
    vector<int> weights(n,0);

    for(int i = 0; i < n ; i++)
        cin >> values[i];

    for(int j = 0; j < n; j++)
        cin >> weights[j];

    cout << maxValue (n,capa,values,weights) << endl;

    return 0;
}