几个有趣的算法题目

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最接近的数字

题目

一个K位的数N

$$ (K\leq2000，N\leq10^{20}) $$

找出一个比N大且最接近的数，这个数的每位之和与N相同，用代码实现之。

例如：0050 所求书数字为0104；112 所求数为121；

算法分析算法思想

直接暴力求这个数字是不可以的，数字的量级太大，有K位的数字，不可能直接用int，或者float来表示，使用数组来存储。应该分析这个数字，step1，从右边开始的最小位数开始，分解最后一位数字，分解出1来拿给前面的一位。9和0比较特殊，因此从左往右扫描的开始，遇到0就跳过，遇到第一个非0的数字，就把这个数字-1，然后移到最后面去，然后，step2，开始找第一个非9的数字，如果遇到9，就把9放到最后面去，遇到非9，就+1，结束运算。

一个般的例子：

1999000 -> 1990008-> 2000899

要注意一个问题，就是如果是 999000 这种情况，在数字的最开头补1，结果是1000899

几个刁蛮的数据：29399 -> 29489

伪代码

array = get_array() # number to char array
array.reverse()
step1 = true
step2 = false
zero = 0, cnt = 0;
for i : 1 - lengthof(array)
    if step1:
        if array[i] is 0:
            zero ++
        else:
            array[i] = array[i] - 1
            if zero > 0:
                array[0] = array[i]
                array[i] = 0
            step1 = false
            step2 = true
    else if step2:
        if array[i] is 9:
            if zero == 0:
                array[cnt+1] = array[cnt]
                array[cnt] = 9
                cnt++
                if (i != cnt):
                    array[i] = array[i-1]
            else:
                array[cnt + 1] = array[cnt]
                array[cnt] = 9
                cnt++
                array[i] = 0
        else:
            i = i+1
            step2 = false
            break
            
            
if not step2:
    array[lengthof(array)] = 1

array.reverse()
disp(array)

分析时间复杂度O

因为reverse操作，2K，加上最后整理最小数到最前面，最坏情况接近K，3K，在循环中的操作看运气，但是最糟糕的情况也只有5K，所以时间复杂度为

$$ O(3K) \approx O(K) $$

源代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>

const int MAXN = 3000;
char array[MAXN];
int length_of_number;
void get_array()
{
    int i;
    char null;
    scanf("%d", &length_of_number);
    scanf("%c", &null);
    for (i = 0; i < length_of_number; i++)
    {
        scanf("%c", &array[i]);
    }
    scanf("%c", &null);
}

void reverse()
{
    int i ;
    char temp;
    for (i = 0; i < length_of_number/2; i++)
    {
        // _swap
        temp = array[i];
        array[i] = array[length_of_number - 1 - i];
        array[length_of_number-1-i] = temp;
    }
}

void run()
{
    reverse();
    int step1 = 1,
        step2 = 0,
        i = 0,
        zero = 0,
        cnt = 0;
    for (i = 0; i < length_of_number; i++)
    {
        if (step1)
        {
            if (array[i] == '0')
            {
                zero++;
            }
            else
            {
                array[i] = array[i] - 1;
                if (zero > 0)
                {
                    array[cnt] = array[i];
                    array[i] = '0';
                }
                step1 = 0, step2 = 1;
            }
        }
        else if (step2)
        {
            if (array[i] == '9')
            {
                if (zero == 0)
                {
                    array[cnt + 1] = array[cnt];
                    array[cnt] = '9';
                    cnt++;
                    if (i != cnt)
                    {
                        array[i] = array[i-1];
                    }
                }
                else
                {
                    array[cnt + 1] = array[cnt];
                    array[cnt] = '9';
                    cnt++;
                    array[i] = '0';
                }
            }
            else
            {
                array[i] ++;
                step2 = 0;
                break;
            }
        }
    }
    if (step2)
    {
        array[length_of_number] = '1';
        length_of_number ++;
    }
}

void output()
{
    int i;
    reverse();
    for(i = 0; i < length_of_number; i++)
    {
        printf("%c", array[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main()
{
    memset(array, 0, sizeof(array));
    freopen("input", "r", stdin);
    get_array();
    run();
    output();
    return 0;
}

测试结果

使用python生成测试数据进行测试：

"""
最接近的数字
"""
import random
import os

def test():
    """
    sample test
    """
    num = random.randint(0, 10000000)
    sum_of_num = 0
    for i in str(num):
        sum_of_num += int(i)

    length = len(str(num))
    temp_num = num + 1

    while(True):
        sum_temp = 0
        for i in str(temp_num):
            sum_temp += int(i)
        if sum_temp == sum_of_num:
            break
        temp_num += 1

    with open('input', 'w') as f:
        f.write(str(length) + '\n')
        f.write(str(num))

    res = os.popen('./ex2').read()
    if temp_num == int(res):
        return [True]
    else:
        return [False, num, temp_num, int(res)]


all = True
for i in range(1000):
    res = test()
    if res[0] is False:
        all = False
        print(res)

if all:
    print('Pass testing!')

存在错误的情况：

通过：

后期改善优化的地方

reverse 是为了编程方便进行的处理，但是如果数字太大，速度肯定会受影响，这个时候就不要使用reverse了。
用链表来做可以简化代码，减少分析的，更加节省时间
处理移位的时候考虑几个问题

寻找发帖水王

题目

如果“水王”没有了，但有三个发帖很多的ID，发帖的数目都超过了帖子做数的1/4，又如何快速找出他们的ID。

算法分析算法思想

从0-n扫描ID数组，记录3个数字的个数，如果出现第四个数字，就把三个数字的个数减少1，如果有一个数字的个数减少到0，那么把新来的数字作为原本三个数字之一进行记录。

如此一来，扫描完ID数组之后，剩下记录的3个数字的个数便是需要求的三个数字。

伪代码

array = get_array()
count = empty_set()
for i in array:
    if count.full:
        if i in count:
            count.i.num ++
        else:
            for j in count:
                count.j.num--
    else
        count.add(i)
disp(count)

分析时间复杂度O

数列的大小为N，记录数字的数组大小为3，每次判断记录数组count是否存在0，以及找到已存在的数字++，都会花费3个单位时间，因此其时间复杂度为

$$ O(3n) \approx O(n) $$

源代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define MAXN 5000
int idarray[MAXN];

int cur[3]; // 记录当前元素
int pos[3]; // 记录当前元素个数

// 检查是否在数组内，如果不在数组内，添加进入数组
void checkin(int no)
{
    int i;

    // 检查是否有空位置
    for (i = 0; i < 3; i++)
    {
        if (pos[i] == 0)
        {
            cur[i] = no;
            pos[i] ++;
            return;
        }
    }

    // 寻找指定数字++
    for (i = 0; i < 3; i++)
    {
        if (cur[i] == no)
        {
            pos[i] ++;
            return;
        }
    }

    // 没有找到重复数字，全部--
    for (i = 0; i < 3; i++)
        pos[i] --;
}

// 输出最后结果
void output()
{
    printf("%d %d %d\n", cur[0], cur[1], cur[2]);
}

// 主程序
int numberOfArray;
void run()
{
    int i;
    for (i = 0; i < numberOfArray; i++)
    {
        checkin(idarray[i]);
    }

    output();
}

void input()
{
    int i;
    scanf("%d", &numberOfArray);
    for(i = 0; i < numberOfArray; i++)
    {
        scanf("%d", &idarray[i]);
    }

}

int main()
{
    freopen("input", "r", stdin);
    int groupOfTest;
    scanf("%d", &groupOfTest);
    while(groupOfTest--)
    {
        memset(cur, 0, sizeof(cur));
        memset(pos, 0, sizeof(pos));
        memset(idarray, 0, sizeof(idarray));
        input();
        puts("Test running...");
        run();
    }
    return 0;
}

测试结果

本测试数据采用Python自动生成。

"""
寻找发帖水王
"""

import random

N = 4000
a, b = (int(N/4), int(N/3))
three_id = random.sample(range(1, 100), 3)
three_id_num = {}
sum_rand = 0
for i in three_id:
    temp = random.randint(a, b)
    sum_rand += temp
    three_id_num[i] = three_id_num.get(i, 0) + temp

id_array = [random.randint(1, 100) for i in range(N-sum_rand)]
for i in three_id:
    id_array = id_array + [i for j in range(three_id_num[i])]

random.shuffle(id_array)

print('Most three id:', three_id)
print('Three id num: ', three_id_num)
print('Sum of three_id num: ', sum_rand)
print('---------------')
# print(id_array)

with open('input', 'w') as f:
    f.write('1\n')
    f.write(str(N) + '\n')
    for i in id_array:
        f.write(str(i) + ' ')

后期改善优化的地方

对于N比较小的情况可以在内存中进行查找，但是一旦涉及到更大的数据，这个方法可能就没有那么简单了，不能在内部建立数组，需要一部分一部分的从磁盘中读数；
如果需要查找的id数量变多，那么需要的临时保存的数列可能更大；
这个实现没有使用STL中的map，如果使用map，还能进一步使得代码见解易懂，map使用hash来做内部实现，可以使得面对数据量更大的数据的时候，加快查找数据的速度。

山西煤老板

题目

你是山西的一个煤老板，你在矿区开采了有3000吨煤需要运送到市场上去卖，从你的矿区到市场有1000公里，你手里有一列烧煤的火车，这个火车只能装1000吨煤，且能耗比较大——每一公里需要耗一吨煤。请问，作为一个懂编程的煤老板，你会怎么运送才能运最多的煤到集市？

算法分析算法思想

从动态规划的角度求最优解：
假设起始运送货物量为t，终点路程为s，火车容量为c，可以运抵终点的最多货物量为函数 F(t, s)。
3种基本情况：
（1）t < s：货物量不足以运送到此距离，所以F(t, s) = 0;
（2）s < t < c：火车一次就可以装完货物，所以F(t, s) = t - s;
（3）2s < c 使得火车一次无法运完，但可以采用往返的方式多次运输，这种情况下最有的方式就是减少总共往返的次数，也就是直接运到终点而不在中间卸货，所以

$$ F(t, s) = (t / c - 1) * (c - 2s) + (c - s) $$

可得递归式：

$$ F(t, s) = max\{ F( F(t, i), s - i)\} (1 <= i < s) $$

分析了一下这个方程是有问题的，比如F(1750, 250)会计算出1125；

所以正确的结果应该对t/c进行处理，也就是说，起点剩余的燃料不足运输到终点，直接舍弃。第三阶段的方程式应该是

$$ F(t, s) = (t // c - 1) * (c - 2s) + (c - s) + (t \% c - 2 s), if (t\%c > 2s) $$

伪代码

begin:
    if t < s:
        f[t][s] = 0
    elif s < t < c:
        f[t][s] = t - s
    elif 2*s < c:
        f[t][s] = int((t//c-1)*(c-2*s) + (c-s))
        if t % c > 2*s:
            f[t][s] += int(t % c-2*s)
    else:
        pre = -2
        for i in range(1, s):
            pre = int(max(F(F(t, i), s-i), pre))
        f[t][s] = pre
end
disp(f[3000][1000])

分析时间复杂度O

时间复杂度为

$$ O(3000*3000) $$

因为每个数字都要计算一遍。

源代码

"""
山西煤老板
"""
c = 1000
f = [[-1 for k in range(4000)] for j in range(4000)]
for j in range(4000):
    for k in range(4000):
        if j < k:
            f[j][k] = 0
count = 1000
cnt = 0


def F(t, s):
    """
    dp
    """
    global count
    global c
    global f
    # count -= 1
    # if count == 0:
        # count = int(input())

    t = int(t)
    s = int(s)
    if f[t][s] != -1:
        return f[t][s]
    if t < s:
        f[t][s] = 0
    elif s < t < c:
        f[t][s] = t - s
    elif 2*s < c:
        f[t][s] = int((t//c-1)*(c-2*s) + (c-s))
        if t % c > 2*s:
            f[t][s] += int(t % c-2*s)
    else:
        pre = -2
        for i in range(1, s):
            pre = int(max(F(F(t, i), s-i), pre))
        f[t][s] = pre
    print(t, s, f[t][s])
    return f[t][s]


print(F(3000, 500))

测试结果

后期改善优化的地方

去除了一下数据进行加速
保存f减少重复运算值
应该有更加简单的方法，类似这种，但是不好解释。
$$ 3y=1000\\ 5x=1000\\ 解得x+y=200+333=533，因此使得最后一辆火车抵达时节省了533吨煤\\ $$

Facebook

题目

Given a list of words, L, that are all the same length, and a string, S, find the starting position of the substring of S that is concatenation of each word in L exactly once and without intervening characters. This substring will occur exactly once in S.

算法分析算法思想

使用hashmap来保存word的hash值，来加快查找速度。（旧）

直接用hash函数求字符串的hash值，最后求得结果。

依据公式

$$ hash(w_1) + hash(w_2) = hash(w_2) + hash(w_1) $$

伪代码

hash_word_list = list(map(hash, words))
hash_sum = reduce(lambda x, y: x + y, hash_word_list)

for i in range(len(sentence)):
    wl = word_len
    wlist = [sentence[i+j*wl:i+j*wl+wl] for j in range(words_len)]
    temp_sum = 0
    for k in wlist:
        temp_sum += hash(k)
    if temp_sum == hash_sum:
        print(i)
        break

分析时间复杂度O

就是字符串长度

$$ O(lengthOfS) $$

源代码

#!/usr/bin/env python3
"""
facebook

"""
from functools import reduce

while True:
    words = input()
    # words = "fooo barr wing ding wing"
    words = words.split(' ')
    word_len = len(words[0])
    words_len = len(words)

    hash_word_list = list(map(hash, words))
    hash_sum = reduce(lambda x, y: x + y, hash_word_list)

    sentence = input()
    # sentence = """lingmindraboofooowingdin\
    # gbarrwingfooomonkeypoundcakewingdingbarrwingfooowing"""

    # print(words, words_len, word_len, sentence)

    for i in range(len(sentence)):
        wl = word_len
        wlist = [sentence[i+j*wl:i+j*wl+wl] for j in range(words_len)]
        # print(wlist)
        temp_sum = 0
        for k in wlist:
            temp_sum += hash(k)
        if temp_sum == hash_sum:
            print(i)
            break

测试结果

测试数据生成意义不是很大，

后期改善优化的地方

hash尽管在速度上非常优秀，但是在准确度方面，如果出现hash冲突，那么值可能不准确。此时可以利用hashmap来解决这个问题，不过会多出重置hashmap的相关时间。

For n -m - problems

Problemset

Assume we have a sequence that contains N numbers of type long. And we know for sure that among this sequence each number does occur exactly n times except for the one number that occurs exactly m times (0 < m < n). How do we find that number with O(N) operations and O(1) additional memory?

Algorithm

^ is the add operation without carry.
默认one,two都是0, 即任何数字都不存在
数字a第一次来的时候, one标记a存在, two不变
数字a第二次来的时候, one标记a不存在, two标记a存在
数字a第三次来的时候, one不变, two标记a不存在

构造这样一种运算，通过异或将数据保存在one和two里面。

Pseudocode

def solve2(array):
    one = 0, two = 0
  for i in range(array):
      one = (one ^ array[i]) & ~two
    two = (two ^ array[i]) & ~one
  return one, two

array = input()
_, res = solve2(array)

### Source code

#!/usr/bin/env python

def solve(array):
   one, two = 0, 0
   for i in array:
       one = (one ^ i) & ~two
       two = (two ^ i) & ~one
   return one, two


if __name__ == '__main__':
   array = input()
   array = array.split(' ')
   array = list(map(lambda x: int(x), array))
   # print(array)
   _, res = solve(array)
   print(res)

Test

#!/usr/bin/env python3
import random

def test():
    """
    测试
    """
    array = []
    n, m = 3, 2
    numberofNum = random.randint(100, 1000)

    record = {}
    for _ in range(numberofNum):
        temp = random.randint(10, 10000)
        while temp in record:
            temp = random.randint(10, 10000)
        record[temp] = 1
        for _ in range(3):
            array.append(temp)

    temp = random.randint(10, 1000)
    while temp in record:
        temp = random.randint(10, 1000)

    array.append(temp)
    array.append(temp)

    from run import solve
    _, res = solve(array)
    if res != temp:
        print('ERROR')
        print(array, temp)
        input()
    else:
        print('Pass: res: ', res, 'temp:', temp)

for i in range(50):
    test()

Use python generate data to test.

Discussion and improve

如果n不是3，那么需要构造更多的临时变量。

很长的数组

题目

一个很长很长的short型数组A，将它分成m个长为L的子数组B1，B2，…，Bm，其中每个数组排序后都是递增的等差数列，求最大的L值。

$$ 例如，A = \{-1, 3, 6, 1, 8, 10\} 可以分成B_1 = \{-1, 1, 3\}, B_2 = \{6, 8, 10\},\; L = 3 即为所求。 $$

算法分析

首先进行排序，然后开始分三步走。

统计元素个数 O(n)
排序 O(nlog(n))

第一步用来枚举L和m的大小，由题目可知，L * m = 数组的长度。从m为1开始枚举，保证得到的L为最大值。

第二步搜索为深搜，确定当前子数组的起点和初始步长，使用pos记录当前数组选定的元素。

第三步枚举，根据起点给定的初始步长，开始枚举步长，如果枚举的步长可以在数组中找到足够的元素，即数字为L，那么记录这种分法，开始枚举下一个起点。如果枚举的步长和起点无法满足条件，回溯到上一个节点，把上一个节点记录的步长+1再一次搜索。当枚举的起点数达到m，即满足要求输出。

大白话来讲，就是从头开始分原始数组到m个数组中去，排序过后，在前面的每一个节点未被分配的元素，都是子数组起点。如果使用广度优先搜索，即每次都给一个子数组分配一个满足子数组步长要求的数，会导致在最后才发现分配的元素数不满足要求，从而浪费大量时间。

其中，深度优先搜索还有几个剪枝的技巧：

当前步长*(L-1)如果超过了数组的最大元素，可以不继续搜索
如果在给定步长的情况下，下一个数字的大小超过之前的数字+步长，那么可以不必继续搜索。

因为数组已经排好序。
还有其他的剪枝技巧，体现在代码中了。

时间复杂度

n为数组长度，排序的时间为 O(nlogn)，枚举m时间为n，枚举step时间为65536【short跨度】，枚举全部元素时间为n，因此算法的时间上界为

$$ O(65536n^2) $$

实际情况下，由于剪枝等操作的存在，应优于这个时间。

伪代码

leng = len(Array)
for m=1 to n:
    if n % m != 0:
        continue
    L = n // m
    # deep search
    res, record = findArray(L, m)

def findArray(L, m):
    group = 0
    pos = np.ones(leng)
    record = []
    record_start = []
    while group != m:
        step = 0
        start = getStart(pos)
        res, step = 寻找合适的步长(start, step, pos, record, L)
        if res:
            找到了计数
        while res is False:
            没找到弹出栈，往回找
        if 弹出栈为空:
            不用找了找不到了
   return False, None

源代码

#!/usr/bin/env python3
# coding: utf-8
"""
arrays
"""

from __future__ import print_function
import numpy as np

array = [-1, 3, 6, 1, 8, 10]
# array = [1, 5, 9, 2, 6, 10]
# array = [1, 2, 4, 5, 8, 9, 13, 14]
# array = [1, 2, 4, 7, 11]
array = sorted(array)
print(array)
leng = len(array)
maxn = array[leng-1]
enable = 1
disable = 0


def findJ(j, step, pos, record, L):
    """
    寻找以J为开始，以步长step为开始的数列
    """
    class StepError(Exception):
        pass

    class MaxException(Exception):
        pass

    if pos[j] == disable:
        return False
    start = array[j]
    pre = start
    record_temp = []

    # remember zero
    try:
        for step in range(step, 40000):
            # 把第一个数字记录
            record_temp.append(j)
            pos[j] = disable
            pre = start

            if start + step * (L - 1) > maxn:
                raise MaxException

            try:
                cnt = 1
                if cnt == L:
                    record.append(record_temp)
                    return True, step

                for k in range(j, leng):

                    if pos[k] == disable:
                        continue
                    elif pos[k] == enable and array[k] == pre + step:
                        record_temp.append(k)
                        pre = array[k]
                        cnt += 1
                        pos[k] = disable
                    elif pos[k] == enable and array[k] > pre + step:
                        raise StepError

                    if cnt == L:
                        record.append(record_temp)
                        return True, step

            except StepError:
                # 重置标记
                for r in record_temp:
                    pos[r] = enable
                record_temp = []

    except MaxException:
        # 没有合适的step
        return False, None


def findArray(L, m):
    """
    寻找数组
    """

    pos = np.ones(leng)
    record = []
    record_start = []
    group = 0

    while group != m:
        start = 0
        while pos[start] == disable:
            start += 1

        step = 0
        res, step = findJ(start, step, pos, record, L)
        if res:
            group += 1
            record_start.append((start, step))
        while res is False:
            try:
                start, step = record_start.pop()
                for r in record.pop():
                    pos[r] = enable
                group -= 1
                res, step = findJ(start, step+1, pos, record, L)
            except IndexError:
                return False, None
    return True, record


def divideArray():
    """
    分离数组
    m 是分离的数组的个数
    L 是分离的数组的长度
    """
    for m in range(1, leng+1):
        if leng % m != 0:
            continue

        L = leng // m
        res, record = findArray(L, m)

        def trans(x):
            return array[x]

        if res:
            print('lenth: ', L)
            for r in record:
                temp = map(trans, r)
                print(list(temp))
            return

    print('No result.')


if __name__ == '__main__':
    divideArray()

测试

测试样例生成结果未必准确，找了部分的测试样例，可以通过修改代码中array来提现。

讨论

在记录了起点和步长，应该可以利用这两点推出当前使用了哪些元素，如果空间大小不够使用，可以不适用record记录，如果下一层不满足条件回溯的时候，可以利用起点和步长回推已经使用的元素。

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