Edit Distance

Edit Distance 题解

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题目描述

即寻找两个字符串之间的编辑距离。编辑距离定义：

编辑距离是针对二个字符串（例如英文字）的差异程度的量化量测，量测方式是看至少需要多少次的处理才能将一个字符串变成另一个字符串。

如：kitten和sitting的最小编辑距离是3。

1. kitten → sitten(k→s)
2. sitten → sittin(e→i)
3. sittin → sitting(+g)

题解

经典动态规划问题。将长度为m字符串S变成长度为n字符串T，其状态转移方程为：

$$ f(i,j) = \begin{cases} \sum_{k=1}^i CostOfDel(T_k) & \text{if $j = 0$ } \\[2ex] \sum_{k=1}^j CostOfIns(S_k) & \text{if $i = 0$ } \\[2ex] min \begin{cases} f(i-1,j)+CostOfDel(T_i) \\[2ex] f(i,j-1)+CostOfIns(S_j) \\[2ex] f(i-1,j-1)+CostOfSub(S_j,T_i) & \text{if $S_j \neq T_i$ } \\[2ex] f(i-1,j-1) & \text{if $S_j = T_i$ } \\[2ex] \end{cases} & \text{ others } \\[2ex] \end{cases} $$

f(i,j) 代表字符串S的长度为j的前缀子串变成字符串T的长度为i的前缀子串的最小编辑代价。

答案即f(n,m)。状态数mn个，状态转移复杂度O(1)，因此时间复杂度为O(mn)，空间复杂度为O(min(m,n))。
此题中所有Cost*函数的返回值都是1。则状态转移方程可简化为

$$ f(i,j) = \begin{cases} i & \text{if $j = 0$ } \\[2ex] j & \text{if $i = 0$ } \\[2ex] f(i-1,j-1) & \text{if $S_j = T_i$ } \\[2ex] min \begin{cases} f(i-1,j)+1 \\[2ex] f(i,j-1)+1 \\[2ex] f(i-1,j-1)+1 \\[2ex] \end{cases} & \text{if $S_j \neq T_i$ } \\[2ex] \end{cases} $$

代码

#include <algorithm>

class Solution {
    typedef int len_type;
public:
    int minDistance(const string& src, const string& dest) {
        if (dest.size() > src.size()) {
            return minDistance(dest, src);
        }
        if (!dest.size())
            return src.size();
        if (!src.size())
            return dest.size();
        len_type len_src = src.size(), len_dest = dest.size();
        len_type* const pc = new len_type[len_dest];
        char c = src[0];
        pc[0] = (c != dest[0]);
        for (len_type j = 1; j < len_dest; ++j)
            pc[j] = std::min((c != dest[j]) + j, pc[j - 1] + 1);
        for (len_type i = 1; i < len_src; ++i) {
            char c = src[i];
            len_type lastj = pc[0];
            pc[0] = std::min((c != dest[0]) + i, lastj + 1);
            for (len_type j = 1; j < len_dest; ++j) {
                len_type samej = pc[j];
                pc[j] = std::min((c != dest[j]) + lastj, std::min(pc[j - 1], samej) + 1);
                lastj = samej;
            }
        }
        len_type dist = pc[len_dest - 1U];
        delete [] pc;
        return dist;
    }
};

总结

主要应用了动态规划的思想。