算法分析的一个小例子--大数乘法

x,y为两个长度为n位的整数，计算它们的积
X=A2^n/2+B ，Y=C2^n/2+D。这样，X和Y的乘积为：

XY=(A2^n/2+B)(C2^n/2+D)=AC*2^n+(AD+CB)2^n/2+BD
4次n/2位整数的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超过n位的整数加法(式中的加号)，此外还要做2次移位(分别对应于式中乘2n和乘2n/2)。所有这些加法和移位共用O(n)步运算
T（N）=4T（N/2）+ O（N） T(n)=O(n^log4)=O(n^2)

改进：
XY=(A2^n/2+B)(C2^n/2+D)=AC*2^n+(AD+CB)2^n/2+BD
=AC2^n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]*2^n/2+BD
需做3次n/2位整数的乘法(AC，BD和(A-B)(D-C))，6次加、减法和2次移位

T（N）=3T（N/2）+ O（N） T(n)=O(n^log3)=O(n^1.59)
T（N）为长度为n的乘法运算，可变为3个长度为n/2的乘法运算， O（N）把3个长度为n/2的乘法运算结果组装起来的时间（加法和位移操作）
画递归树更容易看出时间复杂度

第k级子问题数为3^k，树的高度为logn，最后一级k=logn,子问题数为3^logn,工作量为O（3^logn）=O（n^log3)=O（n^1.59),因为每一级时间成本几何增加，所以最后一级就是整个算法的时间复杂度

注：