【原】概率论——第一章第4节

第一章 随机事件与概率

1.4 概率的性质及有关概率的连续性

一 概率的性质

由概率的公理化定义（非负性，正则性和可列可加性）可以导出概率的一系列性质：

性质1 $P(\emptyset)=0$；
性质2 有限可加性，若有限个事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$互不相容，则有$$P(\bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i)=\sum \limits_{i=1}^{n} P(A_i)$$
性质3 对任一事件$A$，有$P(\overline A)=1-P(A)$；
性质4 若$A\supset B$，则$P(A-B)=P(A)-P(B)$；
性质5 对任意两个事件$A$，$B$，有$P(A-B)=P(A)-P(AB)$；
性质6 加法公式：对任意两个事件$A$，$B$，有：$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$

二 概率的连续性

定义1 对$\mathcal{F}$中任一单调不减的事件序列$F_1\subset F_2\subset \cdots \subset F_n \subset \cdots$，称可列并$\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty} F_i $为$\{F_i\}$的极限事件。并记为：$$\lim_{n \to +\infty} F_n=\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty} F_n$$
定义2 对$\mathcal{F}$中任一单调不增的事件序列$E_1\supset E_2\supset \cdots \supset E_n \supset \cdots$，称可列交$\bigcap\limits_{i=1}^{+\infty} E_i $为$\{F_i\}$的极限事件。并记为：$$\lim_{n \to +\infty} E_n=\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty} E_n$$
定义3 对$\mathcal{F}$上的一个概率$P$,若它对$\mathcal{F}$中任一单调不减的事件序列$\{F_n\}$均成立$$\lim_{n \to +\infty} P(F_n)=P(\lim_{n \to +\infty} F_n)$$
则称概率$P$是下连续的。

定义4 对$\mathcal{F}$上的一个概率$P$,若它对$\mathcal{F}$中任一单调不增的事件序列$\{E_n\}$均成立$$\lim_{n \to +\infty} P(E_n)=P(\lim_{n \to +\infty} E_n)$$
则称概率$P$是上连续的。

定理1 （概率的连续性）设$\{A_n\}$是一个单调递减的事件列，则$$P(\bigcap\limits_{i=1}^{\infty} A_i)=\lim_{n \to \infty} P(A_n)$$
证明：设$A_1=\emptyset,~ c_n=\overline {A_n}-\overline {A_{n-1}},~ n=1,2,\cdots$
则$c_n\cap c_m =\emptyset,~ n\ne m$且$\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}{\overline {A_i}}=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}{c_i}$，于是有：
$$P(\bigcap\limits_{i=1}^{\infty} A_i) =1-P(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} \overline A_i) =1-P(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}{c_i})=1-\sum\limits_{i=1}^{\infty}{P(c_i)}=1-\lim_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}{P(c_i)}$$
$$=1-\lim_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}{P(\overline {A_i}-\overline {A_{i-1}})}=1-\lim_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}{[P(\overline {A_i})-P(\overline {A_{i-1}})]}$$
$$=1-\lim_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}{[P(\overline {A_i})-P(\overline {A_{0}})]}=1-\lim_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}{[1-P({A_i})]}$$
$$=\lim_{n \to \infty} P(A_n)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$

定理2 （概率的下连续性）设$\{A_i\}$是一个单调递增的事件列，则$$P(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i)=\lim_{n \to \infty} P(A_n)$$
证明：略
定理3 设$P$是定义在$F$上的一个非负的，规范性的集函数，则$P$可列可加的充要条件是$P$是有限可加的且是下连续的。
证明：略