动态规划法（八）最大子数组问题（maximum subarray problem）

问题简介

本文将介绍计算机算法中的经典问题——最大子数组问题（maximum subarray problem）。所谓的最大子数组问题，指的是：给定一个数组A，寻找A的和最大的非空连续子数组。比如，数组 A = [-2, -3, 4, -1, -2, 1, 5, -3]，最大子数组应为[4, -1, -2, 1, 5],其和为7。
首先，如果A中的元素全部为正（或非负数），则最大子数组就是它本身；如果A中的元素全部为负，则最大子数组就是第一个元素组成的数组。以上两种情形是平凡的，那么，如果A中的元素既有正数，又有负数，则该如何求解呢？本文将介绍该问题的四种算法，并给出后面三种算法的Python语言实现，解决该问题的算法如下：

暴力求解
分治法
Kadane算法
动态规划法

下面就这四种算法做详细介绍。

暴力求解

假设数组的长度为n，暴力求解方法的思路是很简单的，就是将子数组的开始坐标和结束坐标都遍历一下，这样共有$C_{n}^{2}$中组合方式，再考虑这所有组合方式中和最大的情形即可。
该算法的运行时间为$O(n^{2})$,效率是很低的。那么，还有其它高效的算法吗？

分治法

分治法的基本思想是将问题划分为一些子问题，子问题的形式与原问题一样，只是规模更小，递归地求解出子问题，如果子问题的规模足够小，则停止递归，直接求解，最后将子问题的解组合成原问题的解。
对于最大子数组，我们要寻求子数组A[low...high]的最大子数组。令mid为该子数组的中央位置，我们考虑求解两个子数组A[low...mid]和A[mid+1...high]。A[low...high]的任何连续子数组A[i...j]所处的位置必然是以下三种情况之一：

完全位于子数组A[low...mid]中,因此$low\leq i\leq j \leq mid.$
完全位于子数组A[mid+1...high]中,因此$mid< i\leq j \leq high.$
跨越了中点，因此$low \leq i \leq mid < j \leq high.$

因此，最大子数组必定为上述3种情况中的最大者。对于情形1和情形2，可以递归地求解，剩下的就是寻找跨越中点的最大子数组。
任何跨越中点的子数组都是由两个子数组A[i...mid]和A[mid+1...j]组成，其中$low \leq i \leq mid$且$mid<j\leq high$.因此，我们只需要找出形如A[i...mid]和A[mid+1...j]的最大子数组，然后将其合并即可，这可以在线性时间内完成。过程FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY接收数组A和下标low、mid和high作为输入，返回一个下标元组划定跨越中点的最大子数组的边界，并返回最大子数组中值的和。其伪代码如下：

FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A, low, mid, high):
left-sum = -inf
sum = 0
for i = mid downto low
    sum = sum + A[i]
    if sum > left-sum
        left-sum = sum
        max-left = i
        
right-sum = -inf
sum = 0
for j = mid+1 to high
    sum = sum + A[j]
    if sum > right-sum
        right-sum = sum
        max-right = i
        
return (max-left, max-right, left-sum+right+sum)

有了FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY我们可以找到跨越中点的最大子数组，于是，我们也可以设计求解最大子数组问题的分治算法了，其伪代码如下：

FIND-MAXMIMUM-SUBARRAY(A, low, high):
if high = low
    return (low, high, A[low])
else 
    mid = floor((low+high)/2)
    (left-low, left-high, left-sum) = FIND-MAXMIMUM-SUBARRAY(A, low, mid)
    (right-low, right-high, right-sum) = FIND-MAXMIMUM-SUBARRAY(A, mid+1, high)
    (cross-low, cross-high, cross-sum) = FIND-MAXMIMUM-SUBARRAY(A, low, mid, high)
    
    if left-sum >= right-sum >= cross-sum
        return (left-low, left-high, left-sum)
    else right-sum >= left-sum >= cross-sum
        return (right-low, right-high, right-sum)
    else
        return (cross-low, cross-high, cross-sum)

显然这样的分治算法对于初学者来说，有点难度，但是熟能生巧, 多学多练也就不难了。该分治算法的运行时间为$O(n*logn).$

Kadane算法

Kadane算法的伪代码如下：

Initialize:
    max_so_far = 0
    max_ending_here = 0

Loop for each element of the array
  (a) max_ending_here = max_ending_here + a[i]
  (b) if(max_ending_here < 0)
            max_ending_here = 0
  (c) if(max_so_far < max_ending_here)
            max_so_far = max_ending_here
return max_so_far

Kadane算法的简单想法就是寻找所有连续的正的子数组（max_ending_here就是用来干这事的），同时，记录所有这些连续的正的子数组中的和最大的连续数组。每一次我们得到一个正数，就将它与max_so_far比较，如果它的值比max_so_far大，则更新max_so_far的值。