经典算法：随机抽样

最近发现两个比较有意思的随机抽样算法，分享一下

1. 随机抽样且保持有序

需求:

一家公司购买了他们的第一批电脑，该公司的业务主要是民意调查，现在要开发一个程序：程序的输入是选区名列表以及整数 m，输出是随机选择的 m 个选区名列表。通常选区名有几百个，m 通常在 20 ~ 40。

程序描述:

程序的输入包含两个整数 m 和 n，其中 m<n。输出是0 ~ n-1 范围内的 m 个随机整数的有序列表，不允许重复。从概率的角度说，我们希望得到没有重复的有序选择，其中每个选择出现的概率相等。

简单点来说，就是有 n 个数， 随机取 m 个，并保持有序。

解法:

我们知道了 n 和 m，轮流判断 n 个数组成的列表中每个数的概率(m/n)，每次判断后n=n-1，若当前被判断的数被选择，则m=m-1，否则 m 不变。

假设 5 个数选 2 个，那么意味着每个数的概率都是 2/5 。我们以 2/5 的概率去判断第 1 个数，那么结果有两种，选择1，不选择。当判断第 2 个的时候，在以选择了第 1 个数的情况下，选择 2 的概率是 (2-1)/(5-1)=1/4，在以没选择第 1 个数的情况下，选中 2 的概率是 2/(5-1)=2/4，所以第二个数的概率：(2/5)*(1/4) + (3/5)*(2/4) = 2/5。第二个数的概率和第一个数的概率相等。

证明:

实现:

# Python
import random
# 抽样，从n个中抽m个
def sampling(lists, m, n=None):
    selected = []
    if n is None:
        n = len(lists)
    remaining = n-1
    for i in range(n):
        # random.random()返回 0 ~ 1的随机数
        if random.random() * remaining < m:
            selected.append(lists[i])
            m -= 1
        remaining -= 1
    return selected
# test
lists = [i for i in range(10)]
print sampling(lists, 3)
# 结果
>>>[4, 5, 7]

2. 在不知道总数的情况下随机选一个

如何从 n 个对象（可以依次看到这 n 个对象，但事先不知道 n 的值）中随机选取一个？例如，如何在事先不知道文本行数的情况下读取该文件，从中随机选择并输出一行？

解法:

我们先设一个变量叫selected，选择第 1 行赋值给 selected，并以 1/2 的概率选择第 2 行并重新赋值给selected， 以 1/3 的概率选择第 3 行并重新赋值给selected。在这以过程结束时， 每一行的选中概率都是相等的（都是 1/n， 其中 n 是文件的总行数）

要证明这个概率可以从最后一行算起,设最后一行的概率为P(n)=1/n, 倒数第二行的概率为P(n-1)=(1-P(n))*(1/(n-1)) = 1/n,倒数第m-1行概率为：

代码：

# Python
import random

def getRandLine(text):
    i = 1
    selected = ''
    for line in text.splitlines():
        if (random.random() < (1.0/i)):
            selected = line
        i += 1
    return selected
# test
text = """\
line1
line2
line3
line4
line5
line6
line7
line8
line9
line10
""" 
print getRandLine(text)
# 结果
>>>line9

参考: 编程珠玑