【剑指offer】8.斐波那契数列

ConardLi

题目

题目描述
大家都知道斐波那契数列,现在要求输入一个整数n,请你输出斐波那契数列的第n项(从0开始,第0项为0)。

基本思路

这道题在剑指offer中实际是当作递归的反例来说的。

递归的本质是吧一个问题分解成两个或者多个小问题,如果多个小问题存在互相重叠的情况,那么就存在重复计算。

f(n) = f(n-1) + f(n-2) 这种拆分使用递归是典型的存在重叠的情况,所以会造成非常多的重复计算。

另外,每一次函数调用爱内存中都需要分配空间,每个进程的栈的容量是有限的,递归层次过多,就会造成栈溢出。

递归是从最大数开始,不断拆解成小的数计算,如果不去考虑递归,我们只需要从小数开始算起,从底层不断往上累加就可以了,其实思路也很简单。

代码

function Fibonacci(n)
{
    if(n<=1){
        return n;
    }
    let i = 1;
    let pre = 0;
    let current = 1;
    let result = 0;
    while(i++ < n){
        result = pre + current;
        pre = current;
        current = result;
    }
    return result;
}

扩展

1.跳台阶:

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法(先后次序不同算不同的结果)。

找规律:

跳三级台阶等于跳两级台阶的跳法+跳一级台阶的跳法。

跳四级台阶等于跳三级台阶的跳法+跳二级台阶的跳法。

明显也符合斐波那契数列的规律

function jumpFloor(n)
{
    if(n<=2){
        return n;
    }
    let i = 2;
    let pre = 1;
    let current = 2;
    let result = 0;
    while(i++ < n){
        result = pre + current;
        pre = current;
        current = result;
    }
    return result;
}

3.矩形覆盖

我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形,总共有多少种方法?

跟上面跳台阶那个题很像。

假设有8个块

第1块竖着放,后面还剩7块,共f(7)种方法。

第1块横着放,后面还剩6块,共f(6)种方法。

即f(8)=f(6)+f(7)

f(n)=f(n-1)+f(n-2)

image

function rectCover(n)
{
    if(n<=2){
        return n;
    }
    let i = 2;
    let pre = 1;
    let current = 2;
    let result = 0;
    while(i++ < n){
        result = pre + current;
        pre = current;
        current = result;
    }
    return result;
}

3.变态跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

每个台阶都可以选择跳或者不跳,最后一个台阶必跳。

每个台阶有两种选择,n个台阶有2的n次方种选择。

所以一共有2的n-1次跳法。

使用位运算

function jumpFloorII(number)
{
    return 1<<(--number);
}
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