一道著名的毒酒问题

有1000 桶酒，其中1桶有毒。而一旦吃了，毒性会在1周后发作。现在我们用小老鼠做实验，要在1周后找出那桶毒酒，问最少需要多少老鼠。（老鼠越少越好，时间越快越好）

方法一：类推法

• 一只老鼠（①）：

  喝一剩一，最多检验2桶酒

  ① + Ο =2

• 两只老鼠（①和②）：

  两只老鼠各喝一桶，再一起喝另外的同一桶，最后剩下一桶都不喝，最多检验4桶酒

  ① + ② + ①② + Ο =4

• 三只老鼠（①、②、③）：

  三只老鼠各喝一桶，两两组合喝三桶，三个一起喝一桶，最后剩下一桶都不喝，最多检验8桶酒

  ① + ② + ③ + ①② + ①③ + ②③ + ①②③ + Ο =8

• 以此类推，发现规律——

  每n只老鼠，能检验的酒桶数量满足：

  $$ ∑=1+n+C{_n^2}+C{_n^3}+...+C{_n^n} $$

  根据二项展开式定理：

  $$ (a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n-1}b+...+C(n,i)a^{n-i}b^i+...+C(n,n)b^n $$

  上述结果等同于:2^n

  所以可知当老鼠的数目n满足：2^n>=1000时，能够满足条件。可得出n>=10,即最小为10只。

方法二：二进制表示法

一只老鼠喝酒后又两种状态：死（0）和活(1).
所以10只老鼠就能表示2的10次方个状态（即1024个）.2^0表示2的零次方.2^8表示2的8次方.
设有10只老鼠编号分别为2^0,2^1,2^2,2^3,2^4,2^5,2^6,2^7,2^8,2^9.有1000桶酒编号为1,2,3.一直到 1000.
任何一桶酒的编号都能分解为2的幂指数之和的形式,而且唯一.比如：第九桶酒 9= 2^0 + 2^3
（那么我们就让编号为2^0和 2^3的这两只老鼠去喝这桶酒）最后只要看哪几只老鼠死了就知道是哪桶酒有问题.（只要把死了的老鼠编号加起来就是酒桶的编号）

比如：
如果最后死掉第三、七、八只老鼠，那么就是0011000100，转换成十进制就是196，即196桶酒有毒。
如果是第3和第10只老鼠死掉，即是：1000000100，转换10进制为2^2+2^9=4+512=516桶酒有毒