凸包问题

原文链接：https://ethsonliu.com/2018/03...

首先介绍下什么是凸包？如下图：

在一个二维坐标系中，有若干点杂乱排列着，将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含给定的所有的点，这个多边形就是凸包。

寻找凸包的算法有很多种，Graham Scan 算法是一种十分简单高效的二维凸包算法，能够在 $O(nlogn)$ 的时间内找到凸包。

Graham Scan 算法的做法是先确定一个起点（一般是最左边的点和最右边的点），然后一个个点扫过去，如果新加入的点和之前已经找到的点所构成的"壳"凸性没有变化，就继续扫，否则就把已经找到的最后一个点删去，再比较凸性，直到凸性不发生变化。分别扫描上下两个"壳"，合并在一起，凸包就找到了。这么说很抽象，我们看图来解释：

先找"下壳"，上下其实是一样的。首先加入两个点 A 和 B。

然后插入第三个点 C，并计算 $\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{BC}$ 的向量积，却发现向量积系数小于（等于）0，也就是说 $\overrightarrow{BC}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 的顺时针方向上。

于是删去 B 点。

按照这样的方法依次扫描，找完"下壳"后，再找"上壳"。

关于扫描的顺序，有坐标序和极角序两种，本文采用前者。坐标序是比较两个点的 x 坐标，小的先被扫描（扫描上凸壳的时候反过来），如果两个点 x 坐标相同，那么就比较 y 坐标，同样的也是小的先被扫描（扫描上凸壳的时候也是反过来）。极角序使用atan2函数的返回值进行比较，读者可以自己尝试写下。

下面贴下代码：

struct Point
{
    double x, y;

    Point operator-(Point & p)
    {
        Point t;
        t.x = x - p.x;
        t.y = y - p.y;
        return t;
    }

    double cross(Point p) // 向量叉积
    {
        return x * p.y - p.x * y;
    }
};

bool cmp(Point & p1, Point & p2)
{
    if (p1.x != p2.x)
        return p1.x < p2.x;

    return p1.y < p2.y;
}

Point point[1005];  // 无序点
int   convex[1005]; // 保存组成凸包的点的下标
int   n;            // 坐标系的无序点的个数

int GetConvexHull()
{
    sort(point, point + n, cmp);
    int temp;
    int total = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) // 下凸包
    {
        while (total > 1 && 
              (point[convex[total - 1]] - point[convex[total - 2]]).cross(point[i] - point[convex[total - 1]]) <= 0)
            total--;

        convex[total++] = i;
    }

    temp = total;

    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) // 上凸包
    {
        while (total > temp && 
              (point[convex[total - 1]] - point[convex[total - 2]]).cross(point[i] - point[convex[total - 1]]) <= 0)
            total--;

        convex[total++] = i;
    }

    return total - 1; // 返回组成凸包的点的个数，实际上多了一个，就是起点，所以组成凸包的点个数是 total - 1
}

参考文献：

• Graham Scan 凸包算法