向量积与线段相交问题

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一：什么是向量积？

向量积，也称（向量）叉积，（向量）叉乘，外积，是一种在向量空间中对向量进行的二元运算。常见于物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中，是一种很重要的概念。

设向量 $\overrightarrow{c}$ 由两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 按如下公式定出：$\overrightarrow{c}$ 的模 $|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sinθ$，其中 $θ$ 为 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 间的夹角；$\overrightarrow{c}$ 的方向垂直于 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 所决定的平面，指向按右手规则从 $\overrightarrow{a}$ 转向 $\overrightarrow{b}$ 来确定，如下图：

那么，向量 $\overrightarrow{c}$ 叫做向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的向量积，记作 $\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}$。

由上述的定义，我们很容易总结出两条性质：

$$ \begin{align} \overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}&=\overrightarrow{0} \tag{其中 $\overrightarrow{a}$ 平行$\overrightarrow{b}$}\\ \overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}&=- \overrightarrow{b}×\overrightarrow{a} \tag{不满足交换律} \end{align} $$

下面来推导向量积的坐标表达式，以二维向量为例。设 $\overrightarrow{a}=(a_x, a_y)，\overrightarrow{b}=(b_x, b_y)$，得：

$$ \begin{align} \overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}&=(a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j})×(b_x\overrightarrow{i}+b_y\overrightarrow{j}) \tag{其中 $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ 分别是 $xy$ 轴上的单位向量}\\ &=a_x\overrightarrow{i}×(b_x\overrightarrow{i}+b_y\overrightarrow{j})+a_y\overrightarrow{j}×(b_x\overrightarrow{i}+b_y\overrightarrow{j}) \tag{分解}\\ &=a_xb_x(\overrightarrow{i}×\overrightarrow{i})+a_yb_y(\overrightarrow{j}×\overrightarrow{j})+(a_xb_y-a_yb_x)(\overrightarrow{i}×\overrightarrow{j})\tag{合并}\\ &=(a_xb_x+a_yb_y)\overrightarrow{0}+(a_xb_y-a_yb_x)(\overrightarrow{i}×\overrightarrow{j}) \tag{消去平行向量}\\ &=(a_xb_y-a_yb_x)(\overrightarrow{i}×\overrightarrow{j}) \tag{消去 0 向量} \end{align} $$

仔细观察上式，得出：

1. $a_xb_y-a_yb_x>0$，则 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 的逆时针方向上（参照 $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ 的位置）；
2. $a_xb_y-a_yb_x<0$，则 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 的顺时针方向上；
3. $a_xb_y-a_yb_x=0$，则 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 共线，但是否同向不确定。

二：向量积与计算几何（线段相交）

在计算几何中，向量积也有很大的应用，最经典的就是"线段相交"问题：给定两条线段 $AB$ 和 $CD$，其中 $A(a_x, a_y)，B(b_x, b_y)，C(c_x, c_y)，D(d_x, d_y)$，判断它们是否相交。

我们只需利用两个实验即可完成判断，快速排斥实验和跨立实验。

先看跨立实验，若两条线段相交，则两线段必然会相互跨立对方。

代码如下：

struct Point
{
    double x, y;
};

/* 求出向量 AB 与向量 AC 的向量积,返回 0 代表共线 */
double cross(Point A, Point B, Point C)
{
    return (B.x - A.x) * (C.y - A.y) - (B.y - A.y) * (C.x - A.x);
}

if (cross(A, B, C) * cross(A, B, D) <= 0 &&
    cross(C, D, A) * cross(C, D, B) <= 0)
    pass test;

但是请考虑一个特殊情况，若两条线段共线呢？此时仅仅通过上面的跨立实验是无法检测的，因此还需要借助快速排斥实验。

所谓的快速排斥实验，就是以线段 $AB$，$CD$ 为对角线作两个矩形，若两个矩形外离，则两条线段必定不相交。

代码如下：

if (min(A.x, B.x) <= max(C.x, D.x) &&
    min(C.x, D.x) <= max(A.x, B.x) &&
    min(A.y, B.y) <= max(C.y, D.y) &&
    min(C.y, D.y) <= max(A.y, B.y))
    pass test;

综合上面的分析，若要断定两条线段相交，则它们必须同时通过快速排斥实验和跨立实验。

全部代码如下：

struct Point
{
    double x, y;
};

/* 求出向量 AB 与向量 AC 的向量积,返回 0 代表共线 */
double cross(Point A, Point B, Point C)
{
    return (B.x - A.x) * (C.y - A.y) - (B.y - A.y) * (C.x - A.x);
}

/* 判断线段 AB 与线段 CD 是否相交，相交返回 true */
bool is_intersect(Point A, Point B, Point C, Point D)
{
    if (min(A.x, B.x) <= max(C.x, D.x) &&
        min(C.x, D.x) <= max(A.x, B.x) &&
        min(A.y, B.y) <= max(C.y, D.y) &&
        min(C.y, D.y) <= max(A.y, B.y) &&
        cross(A, B, C) * cross(A, B, D) <= 0 &&
        cross(C, D, A) * cross(C, D, B) <= 0)
        return true;

    return false;
}

三：参考文献

• 【计算几何】线段相交
• 高等数学【下册】. 同济大学数学系编