【详细笔记】前缀、中缀以及后缀表达式 (JS Version)

LazyDuke

前言

最近开始刷题,真实地解决了大学时期“这黑窗口敲来敲去做数学题有卵用?”的困惑。有些东西之前学过,现在忘了,但是正是因为学过,所以再学一遍就变得效率很高(但是我还是不认可大学的学科教学顺序)。废话不多说,这篇博客只是一个笔记,希望之后有了更深的认识能够完善。

前缀、中缀以及后缀表达式是什么?

先聚合一下定义,以后万一要复习也好找XD

前缀表达式

波兰表示法(Polish notation,或波兰记法),是一种逻辑、算术和代数表示方法,其特点是操作符置于操作数的前面,因此也称做前缀表示法

中缀表达式

中缀表示法(或中缀记法)是一个通用的算术或逻辑公式表示方法, 操作符是以中缀形式处于操作数的中间(例:3 + 4)。与前缀表达式(例:+ 3 4)或后缀表达式(例:3 4 +)相比,中缀表达式不容易被电脑解析,但仍被许多程序语言使用,因为它符合人们的普遍用法。

与前缀或后缀记法不同的是,中缀记法中括号是必需的。计算过程中必须用括号将操作符和对应的操作数括起来,用于指示运算的次序。

后缀表达式

逆波兰表示法(Reverse Polish notation,RPN,或逆波兰记法),是一种是由波兰数学家扬·武卡谢维奇1920年引入的数学表达式方式,在逆波兰记法中,所有操作符置于操作数的后面,因此也被称为后缀表示法。逆波兰记法不需要括号来标识操作符的优先级。

对中缀表达式进行转换

这应该是基础中的基础了,理解并记忆思路,再跟着栗子走两步,最后敲一遍代码,基本就掌握了。

中缀表达式转前缀表达式

思路

  1. 初始化两个栈:运算符栈 S1; 操作数栈 S2
  2. 从右至左扫描中缀表达式
  3. 遇到操作数时,将其压入 S2
  4. 遇到运算符时,比较其与 S1 栈顶运算符的优先级

    1. 如果<span style="font-weight:bold"> S1 为空</span>,或栈顶运算符为右括号 ")",或其优先级比栈顶运算符的优先级较高或相等,则直接将此运算符入栈
    2. 否则,将 S1 栈顶的运算符弹出并压入到 S2 中,再次进行与 S1 栈顶运算符的优先级比较
  5. 遇到括号

    1. 如果是右括号 ")",则直接压入 S1
    2. 如果是左括号 "(",则依次弹出 S1 栈顶的运算符,并压入 S2,直到遇到右括号 ")" 为止,此时将这一对括号丢弃
  6. 重复步骤 2 至 5,直到表达式的最左边
  7. S1 剩余的运算符依次弹出并压入 S2
  8. 依次弹出 S2 中的元素并输出,结果即为中缀表达式对应的前缀表达式

栗子

(1 + (3 * 4) / 6 ) - 5
扫描到的元素 S2 (栈底 -> 栈顶) S1 (栈底 -> 栈顶) 说明
5 5 操作数,直接入栈 S2
- 5 - 运算符S1 为空,直接入栈
) 5 - ) 右括号,直接入栈 S1
6 5 6 - ) 操作数,直接入栈 S2
/ 5 6 - ) / 运算符,且 S1 栈顶为 右括号,直接入栈
) 5 6 - ) / ) 右括号,直接入栈 S1
4 5 6 4 - ) / ) 操作数,直接入栈 S2
* 5 6 4 - ) / ) * 运算符,且 S1 栈顶为 右括号,直接入栈
3 5 6 4 3 - ) / ) * 操作数,直接入栈 S2
( 5 6 4 3 * - ) / 左括号S1 栈弹出运算符压入 S2 直至遇到右括号,一对括号丢弃
+ 5 6 4 3 * / - ) + 运算符,但优先级低于 S1 栈顶运算符,S1 弹出运算符压入 S2,直至栈顶优先级低于运算符,再入栈
1 5 6 4 3 * / 1 - ) + 操作数,直接入栈 S2
( 5 6 4 3 * / 1 + - 左括号S1 栈弹出运算符压入 S2 直至遇到右括号,一对括号丢弃
到达最左端 5 6 4 3 * / 1 + - S1 剩余的运算符依次弹出并压入 S2

依次弹出 S2 中的元素并输出结果: -+1/*3465

代码

carbon_1577593826257.png

中缀表达式转后缀表达式

思路

  1. 初始化两个栈:运算符栈 S1; 操作数栈 S2
  2. 从左至右扫描中缀表达式
  3. 遇到操作数时,将其压入 S2
  4. 遇到运算符时,比较其与 S1 栈顶运算符的优先级

    1. 如果<span style="font-weight:bold"> S1 为空</span>,或栈顶运算符为左括号 "(",或其优先级比栈顶运算符的优先级较高,则直接将此运算符入栈
    2. 否则,将 S1 栈顶的运算符弹出并压入到 S2 中,再次进行与 S1 栈顶运算符的优先级比较
  5. 遇到括号时

    1. 如果是左括号 "(",则直接压入 S1
    2. 如果是右括号 ")",则依次弹出 S1 栈顶的运算符,并压入 S2,直到遇到左括号 "(" 为止,此时将这一对括号丢弃
  6. 重复步骤 2 至 5,直到表达式的最右边
  7. S1 剩余的运算符依次弹出并压入 S2
  8. 拼接 S2 中的元素并输出,结果即为中缀表达式对应的后缀表达式

栗子

(1 + (3 * 4) / 6 ) - 5
扫描到的元素 S2 (栈底 -> 栈顶) S1 (栈底 -> 栈顶) 说明
( ( 左括号,直接入栈 S1
1 1 ( 操作数,直接入栈 S2
+ 1 ( + 运算符,且 S1 栈顶为 左括号,直接入栈
( 1 ( + ( 左括号,直接入栈 S1
3 1 3 ( + ( 操作数,直接入栈 S2
* 1 3 ( + ( * 运算符,且 S1 栈顶为 左括号,直接入栈
4 1 3 4 ( + ( * 操作数,直接入栈 S2
) 1 3 4 * ( + 右括号,S1 栈弹出运算符压入 S2 直至遇到左括号,一对括号丢弃
/ 1 3 4 * ( + / 运算符,且优先级高于 S1 栈顶的运算符,直接入栈
6 1 3 4 * 6 ( + / 操作数,直接入栈 S2
) 1 3 4 * 6 / + 右括号,S1 栈弹出运算符压入 S2 直至遇到左括号,一对括号丢弃
- 1 3 4 * 6 / + - 运算符,S1 为空,直接入栈
5 1 3 4 * 6 / + 5 - 操作数,直接入栈 S2
到达最右端 1 3 4 * 6 / + 5 - S1 剩余的运算符依次弹出并压入 S2

拼接 S2 中的元素并输出结果:134*6/+5-

代码

carbon.png

考题扩展

leetcode 150. 逆波兰表达式求值

根据逆波兰表示法,求表达式的值。
有效的运算符包括 +, -, *, / 。每个运算对象可以是整数,也可以是另一个逆波兰表达式。
说明:
整数除法只保留整数部分。
给定逆波兰表达式总是有效的。换句话说,表达式总会得出有效数值且不存在除数为 0 的情况。

对比上面的操作,这题考的是一个逆向思维。

思路

  1. 初始化一个栈 stack 和一个包含 +-*/ 操作的操作策略对象 operation
  2. 从左至右扫描逆波兰表达式

    1. 遇到操作数时,压入栈 stack
    2. 遇到运算符时,依次取出栈顶的两个元素b、a(为了照顾(减)除法操作,先出栈的为(减)除数 b ,后出栈的为被(减)除数 a ),调用 operation 策略对象的相应方法,并将运算结果入栈 stack
  3. 重复步骤 2,直到表达式的最右边
  4. 弹出栈顶元素即是运算结果

代码

carbon的副本.png

波兰表达式求值

这个就举一反三就完事了。

思路

  1. 初始化一个栈 stack 和一个包含 +-*/ 操作的操作策略对象 operation
  2. 从右至左扫描波兰表达式

    1. 遇到操作数时,压入栈 stack
    2. 遇到运算符时,依次取出栈顶的两个元素a、b(为了照顾(减)除法操作,先出栈的为被(减)除数 ab ,后出栈的为(减)除数 b ),调用 operation 策略对象的相应方法,并将运算结果入栈 stack
  3. 重复步骤 2,直到表达式的最左边
  4. 弹出栈顶元素即是运算结果

代码

carbon的副本2.png

模拟 eval('(1 + (3 * 4) / 6 ) - 5')

思路

经过上面的熟悉和理解,这个就很简单了,只要将中缀表达式转换成后缀表达式或者前缀表达式其中的一种,再进行求值即可,代码就是把上面的组装一下,这里就不列出了。

后记

工作一段时间,算法和数据结构渐渐生疏了,在刷题的时候,又把大学的学习的知识慢慢找回来,虽然要花一段时间,但是一旦将时间投入进去,会慢慢地感兴趣,进入良性循环。

贴个GitHub,刚刚起步进行“圣地巡礼”:https://github.com/LazyDuke/leetcode-js

阅读 2k

前端的尤里卡时刻
一些基础巩固 一些原理解析 一些最佳实践 一些踩坑经历
113 声望
5 粉丝
0 条评论
113 声望
5 粉丝
文章目录
宣传栏