【数据结构】5_算法的时间复杂度

结论：判断一个算法的效率时，操作数量中的常数项和其他次要项常常可以忽，只需要关注最高阶次项就能得出结论。

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问题：如何用符号定性的判断算法的效率?

算法的复杂度（定性描述）

• 时间复杂度

  • 算法运行后对时间需求量的定性描述

• 空间复杂度

  • 算法运行后对空间需求量的定性描述

注意：数据结构课程重点关注的是算法的效率问题，因此，整个课程会集中于讨论算法的时间复杂度；但其使用的方法完全可以用于空间复杂度的判断。

大O表示法

• 算法效率严重依赖于操作（Operation）数量
• 操作数量的估算可以作为时间复杂度的估算
• 在判断时优先关注操作数量的最高次项

常见的时间复杂度

• 线性时间复杂度：O(n)

void func()
{
    for (int i=0; i<n; ++i)  // 循环次数： n
    {
        // 复杂度为 O(1) 的程序语句
    }
}

• 对数阶时间复杂度： O(logn)

void func()
{
    int i = 1;
    while (i < n)  // 循环次数：log2n (2为底数)
    {
        // 复杂度为 O(1) 的程序语句
        i *= 2;
    }
}

• 平方阶时间复杂度： O(n2)

void func()
{
    for (int i=0; i<n; ++n)  // 循环次数：n2 (2为指数)
    {
        for (int j=0; j<n; ++j)
        {
            // 复杂度为 O(1) 的程序语句
        }
    }
}

时间复杂度计算练习

1. 下面代码的时间复杂度是什么？

for (int i=0; i<n; ++i)  // O(n2) (2为指数)
{
    for (int j=i; j<n; ++j)
    {
        // 复杂度为 O(1) 的程序语句
    }
}

i = 0     => n
i = 1     => n - 1
i = 2     => n - 2
...
i = n - 1 => 1

==> n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n(n+1)/2
==> O(n(n+1)/2)  
==> O(n2) (2为指数)

1. 函数func()的时间复杂度是什么？

void t(int n)       // O(n)
{
    int i = 0;
    while (i < n)
    {
        cout << i << endl;
    }
}

void func(int n)    // O(n(n+1)) => O(n2) (2为指数)
{
    int i = 0;
    
    while (i < n)
    {
        t(n)       // O(n)
        ++i;       // O(1)
    }
}

1. 函数 test() 的时间复杂度是什么？

void test(int n)            // O(n + n2 + n3) ==> O(n3) (3为指数)
{
    t(n);                   // O(n)
    
    for (int i=0; i<n; ++i) // O(n2)
        t(i);
        
    for (int i=0; i<n; ++i) // O(n3)
        for (int j=i; j<n; ++j)
            t(i);
}

小结

• 时间复杂度是算法运行时对于时间的需求量
• 大O表示法用于描述算法的时间复杂度
• 大O表示法只关注操作数量的最高次项
• 常见的时间复杂度为：线性阶，平方阶和对数阶

以上内容整理于狄泰软件学院系列课程，请大家保护原创！