【数据结构】6_算法效率的度量

常见的时间复杂度

常见时间复杂度的比较

当算法的时间复杂度为 O(2n)(n为指数)，O(n!),或O(nn)(n为指数)时，即使n的值很小，实际的程序运行时间也是不可接收的。

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算法的最好与最坏情况

意义：当算法在最坏情况下仍然能满足需求时，可以推断，算法的最好情况和平均情况都能满足需求。

算法分析示例

int find(int a[], int n, int v)
{
    int ret = -1;
    
    for (int i=0; i<n; ++i)
    {
        if (a[i] == v)
        {
            ret = i;
            break;
        }
    }
    
    return ret;
}

int main()
{
    int arr[5] = {1,2,3,4,5};

    int min = find(arr, 5, 1);  // 最好情况，执行1次循环，O(1)
    
    int max = find(arr, 5, 5);  // 最坏情况，执行n次循环，O(n)
} 

注意：数据结构课程中，在没有特殊说明时，所分析算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度。

算法的空间复杂度（Space Complexity）

• 定义： S(n) = S(f(n))

  • n 为算法的问题规模
  • f(n) 为空间使用函数，与n相关

推导时间复杂度的方法同样适用于空间复杂度。
例如：
当算法所需要的空间是常数时，空间复杂度为S(1)

空间复杂度计算练习

long sum1(int n)                // 1
{
    long ret = 0;               // 1
    int *array = new int[n];    // n
    
    for (int i=0; i<n; ++i)     // 1
    {
        array[i] = i + 1;
    }
    
    for (int i=0; i<n; ++i)     // 1
    {
        ret += array[i];
    }
    
    delete[] array;
    
    return ret;
}

所需的单元内存： n + 4
空间复杂度：S(n+4) = S(n)

空间与时间的策略

• 多数情况下，算法的时间复杂度更令人关注
• 如果有必要，可以通过增加额外空间降低时间复杂度
• 同理，可以通过增加算法的耗时降低空间复杂度

以上策略的依据：当前硬件的发展速度超过了软件的发展速度

实例分析：空间换时间

/*
    问题： 
    在一个由自然数1-1000中某些数字所组成的数组中，每个数字可能出现零次或者多次。
    设计一个算法，找出出现次数最多的数字。
*/

#include <iostream>

using namespace std;

void search(int a[], int len)     // O(n)
{
    int sp[1000] = {0};
    int max = 0;
    
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        sp[a[i] - 1]++;
    }
    
    for(int i=0; i<1000; i++)
    {
        if( max < sp[i] )
        {
            max = sp[i];
        }
    }
    
    for(int i=0; i<1000; i++)
    {
        if( max == sp[i] )
        {
            cout << i + 1 << endl;
        }
    }
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    int a[] = {1, 1, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 3, 3};
    
    search(a, sizeof(a)/sizeof(*a));

    return 0;
}

输出：

3
6

面试题

当两个算法的大O表示法相同时，是否意味着两个算法的效率完全相同？

答：只能说效率同等级别，不能说完全相同。因为大O表示法只关注操作数量的最高次项。

小结

• 一般而言，工程中使用的算法，时间复杂度不超过O(n3)（3为指数）
• 算法分析与设计时，重点考虑最坏情况下的时间复杂度
• 数据结构课程终重点关注算法的时间复杂度
• 大O表示法同样适用于空间复杂度
• 空间换时间是工程中常用的策略

以上内容整理于狄泰软件学院系列课程，请大家保护原创！