【重学数据结构与算法(JS)】字符串匹配算法(二)——KMP算法

LazyDuke

前言

在上一篇文章字符串匹配算法(一)——BF算法提到过,字符串匹配的思路是固定的:

  1. 模式串主串进行比较

    • 从前往后比较
    • 从后往前比较
  2. 匹配时,比较主串模式串的下一个位置
  3. 失配时,

    • 模式串中寻找一个合适的位置

      • 如果找到,从这个位置开始与主串当前失配位置进行比较
      • 如果未找到,从模式串的头部与主串失配位置的下一个位置进行比较
    • 主串中找到一个合适的位置,重新与模式串进行比较

优化在于其中的步骤,而KMP算法就是优化第3步失配时寻找模式串合适位置的操作

算法介绍和分析

那么如何寻找模式串中所谓合适的位置呢?可以先来看个栗子:

QQ20200114-214316.png
QQ20200114-214756.png

......

QQ20200114-215525.png
QQ20200114-220336.png

上面是 BF 匹配过程中从Nk到Nk+mm 次匹配过程,从中我们可以发现,从第 k 步到第 k+m 步时,指针 ij 又回到了相同的位置,且 第 k+m 步 更具有匹配的可能性,所以我们思考一下,是不是可以由第 k 步直接跳到第 k+m 步呢?如果可以,就可以减少 m-1 次比较,大大提升效率。再进一步思考,如果将整个匹配过程再看作是重复地由Nk直接到Nk+m的推进,那么每次重复时,模式串开始比较的位置就是我们所要找的合适的位置

如何寻找这些位置呢?我们可以把这个问题转化为求next数组的过程。

求 next 数组

我们再仔细观察下 Nk 和 Nk+m 两个状态

QQ20200114-214316.png
QQ20200114-220336.png

由于 Nk 状态下,模式串主串具有完全匹配的部分,且要达到 Nk+m 状态所需移动到的位置信息也存在于匹配的部分,因此我们可以无视掉主串,只看模式串即可得到next数组

再认真观察我们还能发现,Nk 状态不匹配时,Nk+m 状态本质上是将模式串中的另外一对 AB主串 达成之前的已匹配状态。所以求next数组的问题又可以转化为当m位置不匹配时,求m位置之前的子串的最大相同前后缀的问题。

首先要建立一个规则,具有前后缀的字符串长度至少为2,所以我们定义如果长度为0,则对应next数组值为-1,如果长度为1,值为0。下面举个栗子:

ABABABD

QQ20200115-204949.png

手工求这么看其实没什么难度,自己多写几个串练一遍就会了。

代码

学会如何手工求next数组之后,整个KMP算法的代码如何写呢?
还记得最开始提到要记住的一点吗?匹配思路是一样的,只是优化了失配后的操作。根据这一点,我们可以把BF算法的框架先搬过来:

carbon.png

这样是不是可以接下来去补全 getNext() 方法就可以了呢?我们来看一个特殊情况:

QQ20200115-211138.png

QQ20200115-211437.png

当处在Nk+m状态时,发现失配位置前的 AB 没有最长公共前后缀,于是只能退回到BF算法的做法,也就是i++;j=0。但是这和我们上面的框架代码不符,需要进行改造:

  • 每当 j = next[j] === -1 时,也需要进入第一个分支,使得 i++;j++(-1 + 1 = 0),变相达到效果。

得到最终的框架代码:

carbon的副本.png

接下来就是进行对next数组的求解——完善 getNext()。这时候有的同学可能就会想对上述手工求法进行代码转化,可是万一模式串很长的话,那么这个时间复杂度就会变得相当的高,所以需要采用迭代法,利用每次所得的结果来求下一个结果,从而拼凑出next数组

我们假设某一时刻有一个状态Sk

QQ20200116-214003.png

此时我们已经求完了next[j]的值,如何去求next[j+1]呢?仔细观察状态图,发现:

  • 若Pk === Pj,则 Pj+1 前有next[j] + 1 = 4个相同的前后缀 P0P1Pk-jPk 和 Pj-kPj-k+1Pj-1Pj,也就是 next[j+1] = next[j] +1 = k + 1

再来看一个状态

QQ20200118-151300.png

同样是求完了next[j]的值,

  • 若Pk === Pj,对比 Pnext[k] 是否 等于 Pj;如果 Pnextn[k] === Pj,则next[j+1] = Pnextn[k] + 1 = k + 1

如果 Pnextn[k] !== Pj呢?

QQ20200118-151336.png

可以看到,

  • 如果Pnextn[k] !== Pj,则不断地递归前缀索引 k = next[k] 直到回到前缀第一个位置,则表示没有相同的前后缀,此时 j = -1,则 next[j+1] = Pnextn[k] + 1 = k + 1 = 0

根据以上分析,我们可以补充完 getNext()

carbon的副本2.png

再优化一下写法

carbon的副本3.png

至此,一个完整的KMP算法就写好了。

思考是否还有优化的空间

我们来看一个特殊的例子:

QQ20200118-155025.png

这是一个前缀相同的一个模式串,且我们已经求得了next数组,接下来我们模拟一下上面写好的程序进行的操作:

  1. j = 5,needle[5] !== haystack[i];next[j] = 4,j = next[j];
  2. j = 4,needle[4] !== haystack[i];next[j] = 3,j = next[j];
  3. j = 3,needle[3] !== haystack[i];next[j] = 2,j = next[j];
  4. j = 2,needle[2] !== haystack[i];next[j] = 1,j = next[j];
  5. j = 1,needle[1] !== haystack[i];next[j] = 0,j = next[j];
  6. j = 0,needle[0] !== haystack[i];next[j] = -1,j = next[j];
  7. j = -1, j++;i++;

我们发现由于前缀都是相等的,当第1步发现失配时,直接 j = -1 就可以了,也就是 next[5] = -1 即可。所以,优化点其实是体现在对next数组的优化,我们称之为nextVal数组

求nextVal数组

如何求nextVal数组呢?我们还是以上面的特殊情况为例,看两个状态:

QQ20200118-163223.png

QQ20200118-164922.png

此时我们已经求完了nextVal[j]的值,仔细观察状态图,发现:

  • 根据求next数组的过程,next[j + 1] = k + 1

    • 若Pj+1 !== Pnext[j + 1],在Pnext[j + 1]发生失配时,只要跳到Pj+1就有可能解决失配问题,则此时的 nextVal[j + 1] = next[j + 1]即可
    • 若Pj+1 === Pnext[j + 1],在Pnext[j + 1]发生失配时,跳到Pj+1就并不能解决失配问题,则此时应该继续回溯nextVal的next[j + 1]的位置上(由于是迭代求法,此时nextVal[next[j + 1]]上的值一定是通过nextVal[next2[j + 1]]求得了),即 nextVal[j + 1] = nextVal[next[j + 1]]

可以在 getNext() 的基础上得到以下代码:

carbon的副本4.png

next数组现在就已经是一个可有可无的工具人了,我们把去掉,得到下一版代码:

carbon (1).png

再进行以下优化得到最终代码:

carbon (2).png

总结

总的来说,KMP算法BF算法的字符串匹配思路在大方向上是没有区别的,只是引入了一个next数组nextVal数组来求得模式串合适的位置。只要理解了这两个数组的求法,也就基本理解了KMP算法

后记

“字符串匹配算法”是“重学数据结构与算法”系列笔记:

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前端的尤里卡时刻
一些基础巩固 一些原理解析 一些最佳实践 一些踩坑经历
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