线段树的实现与应用

线段树的实现与应用

原理

• 原理图

• 懒标记含义：
  本节点的统计信息已经根据标记更新过了，但是本节点的子节点仍需要进行更新。即，如果要给一个区间的所有值都加上1，那么，实际上并没有给这个区间的所有值都加上1，而是打个标记，记下来，这个节点所包含的区间需要加1.打上标记后，要根据标记更新本节点的统计信息。

存储结构

• 使用数组存储。
• 线段树需要的数组元素个数是：,一般都开4倍空间，比如： int A[n<<2];

代码实现1(单点修改，区间查询)

• 定义

  const int N = 100010;
  int sum[N << 2];    //4*N的空间 
  int a[N];    //原数组下标 

• 建树

  void build(int u, int l, int r) 
    {
      if(l == r) 
      {
          sum[u] = a[l];
          return;
      }
      int mid = l + r >> 1;
      build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
      pushup(u);
    }

• 更新节点信息

  void pushup(int u)
  {
    sum[u] = sum[u << 1]  + sum[u << u | 1];
  }

• 单点修改

  void modify(int L, int c, int u, int l, int r) 
  {
      if(l == r)
      {
          sum[u] += c;
          return;
      }
      int mid = l + r >> 1;
      if(L <= mid) modify(L, c, u<< 1, l, mid);
      else modify(L, c, u << 1 | 1, mid + 1, r);
      pushup(u);
  }

• 区间查询

  int query(int L, int R, int l, int r, int u)
  {
       if( L <= l && r <= R)    return sum[u];
  
       int mid = l + r >> 1;
       int ans = 0;
       if(L <= mid) ans += query(L, R, l, mid, u << 1);
       if( R > mid) ans += query(L, R, mid +1, r, u << 1 | 1);
       return ans;
  }

代码实现2(区间修改，区间查询)

• 定义

  const int N = 100010;
  
  int sum[N << 2];  //求和
  int add[N << 2];    //懒惰标记
  int a[N];    //原数组
  int n; // 原数组中元素的个数

• 建树

  void build(int u, int l, int r) 
  {
   if(l == r) 
   {
       sum[u] = a[l];
       return;
   }
   int mid = l + r >> 1;
   build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
   pushup(u);
  }

• 更新节点信息

  void pushup(int u)
  {
    sum[u] = sum[u << 1]  + sum[u << u | 1];
  }

• 下推标记

  void pushdown(int u, int ln, int rn) 
  {
     if(add[u])
     {
         //下推标记 
         add[u << 1] += add[u];
         add[u << 1 | 1] += add[u];
         //修改子节点的sum使之与对应的add相对应
         sum[u << 1] += add[u] * ln;
         sum[u << 1 | 1] += add[u] * rn;
         //清楚本节点标记
         add[u] = 0;
     }
  }

• 区间修改

      void modify(int L, int R, int c, int l, int r, int u) 
      {
          if(L <= l && R >= r)
          {
              sum[u] += c *(r - l + 1);
              add[u] += c;
              return;
          } 
          int  mid = l + r >> 1;
          pushdown(u, mid - l + 1, r - mid);
  
          if(L <= mid) modify(L, R, c, l, mid, u << 1);
          if(R > mid) modify(L, R, c, mid + 1, r, u << 1 | 1);
          pushup(u);
      }

• 区间查询

  int query(int L, int R, int l, int r, int u) 
  {
      if(L <= l && R >= r)
          return sum[u];
      int mid = l + r >> 1;
      pushdown(u, mid - l + 1, r - mid);
      int ans = 0;
      if(L <= mid) ans += query(L, R, l, mid, u << 1);
      if(R > mid) ans += query(L, R, mid + 1, r, u << 1 |1);
      return ans;
  }