2020蓝桥杯校内赛-一带一路-图论-最小生成树

题面

问题描述
　　2015年，全中国实现了户户通电。作为一名电力建设者，小明正在帮助一带一路上的国家通电。
　　这一次，小明要帮助 n 个村庄通电，其中 1 号村庄正好可以建立一个发电站，所发的电足够所有村庄使用。
　　现在，这 n 个村庄之间都没有电线相连，小明主要要做的是架设电线连接这些村庄，使得所有村庄都直接或间接的与发电站相通。
　　小明测量了所有村庄的位置（坐标）和高度，如果要连接两个村庄，小明需要花费两个村庄之间的坐标距离加上高度差的平方，形式化描述为坐标为 (x_1, y_1) 高度为 h_1 的村庄与坐标为 (x_2, y_2) 高度为 h_2 的村庄之间连接的费用为
　　sqrt((x_1-x_2)*(x_1-x_2)+(y_1-y_2)*(y_1-y_2))+(h_1-h_2)*(h_1-h_2)。
　　在上式中 sqrt 表示取括号内的平方根。请注意括号的位置，高度的计算方式与横纵坐标的计算方式不同。
　　由于经费有限，请帮助小明计算他至少要花费多少费用才能使这 n 个村庄都通电。
输入格式
　　输入的第一行包含一个整数 n ，表示村庄的数量。
　　接下来 n 行，每个三个整数 x, y, h，分别表示一个村庄的横、纵坐标和高度，其中第一个村庄可以建立发电站。
输出格式
　　输出一行，包含一个实数，四舍五入保留 2 位小数，表示答案。
样例输入
4
1 1 3
9 9 7
8 8 6
4 5 4
样例输出
17.41
评测用例规模与约定
　　对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 10；
　　对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 100；
　　对于所有评测用例，1 <= n <= 1000，0 <= x, y, h <= 10000。

题解

通过阅读题面了解到是最小生成树的模板题。接收完数据后，需要通过题目给出的公式算出两点之间的权重，结果保存到一个邻接矩阵里（稠密图）。最后使用普里姆算法，设置第一个结点为起点，求出最小生成树。最后将所有边的权值加起来就是答案。输出可以使用printf("%.2f")格式化输出，最自动四舍五入。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#define N 1001
#define WHITE 0
#define GRAY 1
#define BLACK 2
#define INFTY 1 << 21

using namespace std;

double M[N][N], d[N];
int color[N], p[N], n;
struct Node {
  double x, y, h;
} arr[N];

void prim () {
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    color[i] = WHITE;
    d[i] = INFTY;
  }

  d[0] = 0;
  p[0] = -1;

  int mincost, u;
  
  while (1) {
    mincost = INFTY;
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
      if (color[i] != BLACK && d[i] < mincost) {
        mincost = d[i];
        u = i;
      }
    }

    if (mincost == INFTY)
      break;

    color[u] = BLACK;

    for (int v = 0; v < n; v++) {
      if (color[v] != BLACK && M[u][v]) {
        d[v] = M[u][v];
        p[v] = u;
        color[v] = GRAY;
      }
    }
  }
}

int main () {
  cin >> n;

  double x, y, h;
  
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    cin >> x >> y >> h;
    arr[i].x = x;
    arr[i].y = y;
    arr[i].h = h;
  }

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) {
      if (i == j)
        M[i][j] = 0;
      else {
        x = (arr[i].x - arr[j].x) * (arr[i].x - arr[j].x);
        y = (arr[i].y - arr[j].y) * (arr[i].y - arr[j].y);
        h = (arr[i].h - arr[j].h) * (arr[i].h - arr[j].h);
        M[i][j] = sqrt(x + y) + h;
      }
    }
  }

  prim();

  double ans = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++)
    ans += d[i];

  printf("%.2f", ans);

  return 0;
}

知识点

• 图论；
• 最小生成树；
• 普里姆算法。