【数据结构】60_二叉树的深层特性

性质 1

在二叉树的第 i 层最多有 2^i-1 个结点(i >= 1)。

• 第一层最多有 2^1-1 = 1 个结点
• 第二层最多有 2^2-1 = 2 个结点
• 第二层最多有 2^3-1 = 4 个结点
• ...

性质 2

高度为 k 的二叉树最多有 2^k-1 个结点(k >= 0)。

• 如果有一层，最多有 1 = 2¹-1 = 1 个结点
• 如果有两层，最多有 1 + 2 = 2² - 1 = 3 个结点
• 如果有三层，最多有 1 + 2 + 4 = 2³ - 1 = 7 个结点
• ...

性质 3

对任何一颗二叉树，如果其叶节点有 n0 个，度为2的非叶节点有 n2 个，则有 n0 = n2 + 1。

证明：
假设二叉树中度1的结点有 n1 个且总结点为 n 个，则：
n = n0 + n1 + n2

假设二叉树中连接父节点与子节点间的边为 e 条，则：
e = n1 + 2n2（从下到上看）
e = n - 1 = n0 + n1 + n2 - 1 (从上到下看)

所以：
n0 = n2 + 1

性质 4

具有 n 个结点的完全二叉树的高度为 ⌊log2n⌋ + 1 (⌊x⌋ 表示不大于 x 的最大整数)

证明：
假设这 n 个结点组成的完全二叉树高度为 k， 则：
2^k-1-1 < n ≤ ^k-1

因为 n 为整数，所以：
2^k-1 ≤ n < 2^k

取对数：
k-1 ≤ log2n < k

因为 k 为整数，所以:
k = ⌊log2n⌋ + 1

性质 5

一颗具有 n 个结点的完全二叉树（高度为⌊log2n⌋ + 1），按层次对结点进行编号（从上到到下，从左到右），对任意结点 i 有：

• 如果 i = 1, 则结点 i 是二叉树的根结点
• 如果 i > 1, 则双亲结点为 ⌊i/2⌋
• 如果 2i <= n , 则结点 i 的左孩子为 2i
• 如果 2i > n, 则结点 i 无左孩子
• 如果 2i + 1 <= n, 则结点 i 的右孩子为 2i+1
• 如果 2i + 1 > n, 则结点 i 无右孩子

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