python实现·十大排序算法之归并排序(Merge Sort)

简介

归并排序(Merge Sort)是一种非常高效的排序方式，它用了分治的思想，基本排序思想是：先将整个序列两两分开，然后每组中的两个元素排好序。接着就是组与组和合并，只需将两组所有的元素遍历一遍，即可按顺序合并。以此类推，最终所有组合并为一组时，整个数列完成排序。

算法实现步骤

把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列；
对这两个子序列分别采用递归的进行排序；
将两个排序好的子序列的元素拿出来，按照顺序合并成一个最终的序列，即可完成排序。

Python 代码实现

# merge_sort 代码实现

from typing import List

def merge(arr1:List[int], arr2:List[int]): 
    result = []
    while arr1 and arr2:
        if arr1[0] < arr2[0]:
            result.append(arr1.pop(0))
        else:
            result.append(arr2.pop(0))
    if arr1:
        result += arr1
    if arr2:
        result += arr2
    return result

def merge_sort(arr:List[int]):
    """
    归并排序
    :param arr: 待排序的List
    :return: 排好序的List
    """
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    mid = len(arr) // 2
    return merge(merge_sort(arr[:mid]), merge_sort(arr[mid:]))

# 测试数据

if __name__ == '__main__':
    import random
    random.seed(54)
    arr = [random.randint(0,100) for _ in range(10)]
    print("原始数据：", arr)
    arr_new = merge_sort(arr)
    print("归并排序结果：", arr_new)

# 输出结果

原始数据： [17, 56, 71, 38, 61, 62, 48, 28, 57, 42]
归并排序结果： [17, 28, 38, 42, 48, 56, 57, 61, 62, 71]

动画演示

算法分析

时间复杂度

归并排序时间复杂度计算公式：排序总时间=子序列排序时间+合并时间。

假设一个序列有$n$个数的排序时间为$T\left( n \right) $，那么

$$ T\left( n \right) =2T\left( \dfrac{n}{2} \right) +\text{合并时间} $$

由于合并时，两个子序列已经组内排好序了，将两个排好序的序列组合成一个大的有序序列，时间复杂度为$n$，则有：

$$ T\left( n \right) =2T\left( \dfrac{n}{2} \right) +n $$

递归推导可得出：

$$ T\left( n \right) =2^mT\left( \dfrac{n}{2^m} \right) +mn $$

当$\dfrac{n}{2^m}=1$时，递归结束，此时有：

$$ T\left( 1 \right) =0,T\left( n \right) =n\log _2n $$

所以归并排序的时间复杂度为$O(nlog_2n)$
空间复杂度
每次递归需要用到一个辅助表，长度与待排序的表相等，虽然递归次数是$O(log_2n)$，但每次递归都会释放掉所占的辅助空间，下次递归的栈空间和辅助空间与这部分释放的空间就不相关了，因而空间复杂度为$O(n)$。
稳定性
归并排序过程中，能保证相等元素相对位置保持不变，因此为稳定排序。
综合评价

时间复杂度(平均) 时间复杂度(最好) 时间复杂度(最坏) 空间复杂度排序方式稳定性

$O(nlog_2n)$ $O(nlog_2n)$ $O(nlog_2n)$ $O(n)$ out-place 稳定