一道有悖直觉的概率题

Crossin先生

我是一个概率控,平常遇到和概率相关的事情都喜欢去推算一下,喜欢看概率有关的影视作品(决胜21点、欺诈游戏、赌博默示录……),就连在汤姆熊或是巴黎人,我也会估下哪一个机器输的可能性更小一点(赢是不可能赢的啦)。

所以,碰到概率相关的问题,我通常都不会轻易放过。之前公众号里讲过的概率问题就有好几个:

最近,又看到一个有意思的概率题,今天给大家分享并分析一把:

甲乙二人玩掷硬币的游戏。 连续抛掷同一枚硬币 ,如果 最近三次硬币 抛掷结果是“ 正反反 ”,则 甲胜 ;如果是“ 反反正 ”,则 乙胜 。问:谁胜的概率更高?

各位先想一下,结果是什么?

  1. 甲胜概率高(正反反)
  2. 乙胜概率高(反反正)
  3. 两人概率一样

单纯看扔3次硬币的结果,“正反反”和“反反正”出现的概率都是 1/8(1/2的3次方) 。那么,是不是就代表两人胜的概率是一样的呢?

以前中学时代跟同学讨论概率,如果双方有分歧,就很难说服对方。即使有了一个结论,也无法确认到底是否正确。毕竟大多数时候,你不可能亲自去实验足够多的次数。

但有了计算机和编程之后,情况就好多了。只要你的代码没有问题,通常可以模拟出实验场景,得到一个参考结果来佐证。

今天这个问题,同样可以通过代码进行模拟:

单次掷硬币,正反面的概率各是50% ,这个是没有疑问的。那我们只要 根据这个概率持续地产生硬币结果序列 ,再 判断最近三次硬币结果是否触发胜负条件 即可。然后, 重复这个过程足够多的次数,统计双方胜负的总数 ,就能得到两人胜负概率的参考值。

下面放下代码,如果你想自己尝试编写,先不急着看:



import random

p1 = 0
p2 = 0
for i in range(100000):
    last3 = []
    while True:
        x = random.choice([0, 1])
        last3.append(x)
        if len(last3) > 3:
            last3.pop(0)
        if last3 == [1, 0, 0]:
            p1 += 1
            break
        elif last3 == [0, 0, 1]:
            p2 += 1
            break

print('甲(正反反)', p1)
print('乙(反反正)', p2)

运行后的结果:



甲(正反反) 74820
乙(反反正) 25181

每次结果不会一样,但大致比例不变,基本上 甲赢的概率是乙的3倍

可能有人还是不太信。那我们再从数学的角度来尝试解释一下:

因为甲的后两位和乙的前两位是一样的,所以,对于进行中的序列,一旦出现“正”,乙就没有机会了。比如:



反正反正……

这样一个序列,如果出现乙胜的情况,必须先连出至少两个“反”,但这样就必定会形成“正反反”而导致甲胜。

所以甲胜的可能性比较复杂,但乙胜的情况只可能是从一开始就一直是“反”,包括:



反反正
反反反正
反反反反正
反反反反反正
……

这个概率还是相对好计算的:

(1/2)3 + (1/2)4 + (1/2)5 + (1/2)6 + ...

(**是python中的指数运算)

这是一个 收敛的几何级数 ,也就是 等比数列 ,可以通过公式求和:

a1/(1-r) = (1/8)/(1-1/2) = 1/4

所以乙胜的概率就是 25%

这个游戏其实有点来头,它原名叫做 Penney’s game ,于 1969 被提出,在不少数学书籍和编程算法题中被引用。

有人会问我,怎么能持续提高编程能力。其实,像这种“不起眼”的数学题,就是一种提高编程能力的很好方法。如果你也能没事拿起python,去算一算身边的概率,久而久之,你在处理更复杂问题时自然也会得心应手。

顺便说下,概率和分布在我们的周围普遍存在。比如我们文中的投票,如果你留心观察就会发现,在只有100个人投票和1000个人投票时,选项的分布是会很接近的。也就是说,虽然我们每个人都有着独立思维,但作为整体来看,却保持着稳定的分布特征。(比如我们的打卡活动,如果不去改动其他条件,完成率就总是在15%~20%这个范围)

多了解一些概率的知识,你会对这个世界有更准确的认知。

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本专栏旨在为编程初学者提供浅显易懂的入门指导。 另有同名公众号,及面向零基础学习者的 Python 入门教...
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