专题 - 数列分块2

数列分块专题 No.2

分块应用推广来啦
如果还不了解分块请先学习"数列分块1" ->点这里学习

放上题号 - LOJ 6278 数列分块入门 2
挂上链接 - https://loj.ac/problem/6278
题面 - 给出一个数列，2种操作，区间加法和询问区间内小于某个值的元素个数

Now，进入正题

这题较之分块1的题区别就在于单点查值变成了区间询问小于某值的元素个数

这下可犯难了，数列是无序的呀，挨个比较，O(n^2)，肯定超时；排序也不行，打乱了原先的顺序，就找不到题目给定的区间了......

这时分块又派上了用场，"大段维护，小段朴素"的核心思想依旧

但是如何"大段维护"呢？既然我们不能排序整个数列，那我们不妨将每个每个分块排序，瞧下数据，50000级别，O(n*logn)的sort就可以满足需求。

void reset(int x){
    ve[x].clear();
    for(int i=(x-1)*blo+1;i<=min(x*blo,N);i++)
        ve[x].push_back(v[i]);
    sort(ve[x].begin(),ve[x].end());
    //对于一个分块的修改并排序（由于vector内元素不可修改,所以清零后重新放入） 
}

排完序后就很明了了，对于每个分块我们使用O(logn)二分查找(lower_bound函数)来求其小于某值的元素个数。

for(int i=bl[a]+1;i<=bl[b]-1;i++){
    int x=c-atag[i]; //先减去区间统一加量,反映了微观提升宏观 
    ans+=lower_bound(ve[i].begin(),ve[i].end(),x)-ve[i].begin(); //二分查找求数量 
}

"小段朴素"即头尾不足一个分块的部分使用挨个比较的方法

for(int i=a;i<=min(bl[a]*blo,b);i++)
    if(v[i]+atag[bl[a]]<c)
        ans++;
    
if(bl[a]!=bl[b])
    for(int i=(bl[b]-1)*blo+1;i<=b;i++)
        if(v[i]+atag[bl[b]]<c)
            ans++;

区间加法和之前基本一样，如果还不了解可以参考"数列分块1" ->点这里学习
但记得"小段维护"后排序

for(int i=a;i<=min(bl[a]*blo,b);i++)
    v[i]+=c;
reset(bl[a]); //"小段" 内单点修改后记得把所在分块修改排序 
    
if(bl[a]!=bl[b]){
    for(int i=(bl[b]-1)*blo+1;i<=b;i++)
        v[i]+=c;
    reset(bl[b]); //同理 
}

到这里就基本结束啦~最后附上完整代码(C++)和精心设计的注解

// LOJ 6278 - 数列分块练习2
// https://loj.ac/problem/6278
// 分块(vector) 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int N,blo;
int v[50005],bl[50005],atag[50005];
vector<int> ve[505];

void reset(int x){
    ve[x].clear();
    for(int i=(x-1)*blo+1;i<=min(x*blo,N);i++)
        ve[x].push_back(v[i]);
    sort(ve[x].begin(),ve[x].end());
    //对于一个分块的修改并排序（由于vector内元素不可修改,所以清零后重新放入） 
}

void add(int a,int b,int c){
    for(int i=a;i<=min(bl[a]*blo,b);i++)
        v[i]+=c;
    reset(bl[a]); //"小段" 内单点修改后记得把所在分块修改排序 
    
    if(bl[a]!=bl[b]){
        for(int i=(bl[b]-1)*blo+1;i<=b;i++)
            v[i]+=c;
        reset(bl[b]); //同理 
    }
    
    for(int i=bl[a]+1;i<=bl[b]-1;i++)
        atag[i]+=c;
}

int query(int a,int b,int c){
    int ans=0;
    for(int i=a;i<=min(bl[a]*blo,b);i++)
        if(v[i]+atag[bl[a]]<c)
            ans++;
    //左边不足一块的地方进行"朴素" 
    
    if(bl[a]!=bl[b])
        for(int i=(bl[b]-1)*blo+1;i<=b;i++)
            if(v[i]+atag[bl[b]]<c)
                ans++;
    //右边 
    
    for(int i=bl[a]+1;i<=bl[b]-1;i++){
        int x=c-atag[i]; //先减去区间统一加量,反映了微观提升宏观 
        ans+=lower_bound(ve[i].begin(),ve[i].end(),x)-ve[i].begin(); //二分查找求数量 
    }
    
    return ans;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> N;
    blo=sqrt(N);
    
    for(int i=1;i<=N;i++)
       cin >> v[i];
    
    for(int i=1;i<=N;i++){
        bl[i]=(i-1)/blo+1;
        ve[bl[i]].push_back(v[i]);
    }
    
    for(int i=1;i<=bl[N];i++)
        sort(ve[i].begin(),ve[i].end());
    
    for(int i=1;i<=N;i++){
        int F, L, R, C;
        cin >> F >> L >> R >> C;
        if(F==0) add(L,R,C); // 区间加法 
        if(F==1) cout << query(L,R,C*C) << endl; //区间查询 
    }
    
    return 0;
}

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