专题 - 匈牙利算法

二分图最大匹配之匈牙利算法

如此之菜的笔者现在才学会

板子题 - Luogu P3386 【模板】二分图最大匹配
挂个链接 - https://www.luogu.com.cn/prob...
题面 - 给定一个二分图，其左部点的个数为n，右部点的个数为m，边数为 e，求其最大匹配的边数

Now，让我们开始学习匈牙利算法

匈牙利是用增广路求最大匹配的算法
增广路的定义，若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配的边）在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径，M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径

红红火火恍恍惚惚
你是不是很懵呀，是不是感觉如此高大上，其实非常简单，笔者是故意说的这么复杂的，换一种说法你就明白了

笔者就用牛和牛栏来解释吧（其实本来想用撮合情侣来解释的）

现在有n头牛，m个牛栏，牛只能在它喜欢的牛栏中且一个牛栏一头牛，告诉你每头牛喜欢哪些牛栏，问你最多能安排多少对牛和牛栏

要你干什么你明白了吧，现在就是怎么做的问题了

现在开讲匈牙利算法（这次是正经的）

举个栗子吧，这样会清晰一些

这是题目给你的条件

下面就要利用这些条件进行匈牙利算法了

先看到牛1，去找它喜欢的牛栏有没有空着的
发现它喜欢的牛栏1空着，那就占下牛栏1

牛1有牛栏了，下面看牛2，再去找牛2喜欢的牛栏有没有空着的
发现它喜欢的牛栏2空着，那就占下牛栏2

接着看牛3，去找牛3喜欢的牛栏有没有空着的
它喜欢的牛栏没有空位
这时候他就要让其它的牛设法给腾出自己想要的牛栏，这是个递归的过程
首先找到牛3喜欢的牛栏1现在的主人牛1手上，于是便让牛1给它腾位置
牛1只好去找别的位置，发现自己喜欢的牛栏没有也没有空位
于是它找到牛栏2现在的主人牛2，让牛2给自己腾位置
牛2发现自己还有牛栏3空着，便占下牛栏3，开始递归回溯
牛2把牛栏2腾给了牛1，牛1占下牛栏2
牛1把牛栏1腾给了牛3，牛3占下牛栏1

最后是牛4，去找牛4喜欢的牛栏又没有空着的
发现没有，便递归请其它牛帮它腾牛栏，结果腾不出来（递归过程可以自己尝试梳理一下）

于是最终答案就是这样

这样的递归如何用程序实现呢
请看下方（我叫它DFS，似乎更多是叫Find）

bool DFS(int x){
    vis[x]=1; //标记已访问过该点
    for(int i=0; i<v[x].size(); i++)
        if(have[v[x][i]]==0){ //如果有喜欢的牛栏是空的 
            have[v[x][i]]=x; //占下该牛栏 
            return true;  
        }
    //否则没有喜欢的牛栏是空的 
    for(int i=0; i<v[x].size(); i++){ //依次访问喜欢的牛栏的现主人,请求其腾出牛栏 
        int temp=have[v[x][i]]; 
        if(vis[temp]!=0){
            continue; //与上面的vis[]相呼应，用于避免重复访问从而进入死循环 
        }
        if(DFS(temp)){ //如果能腾出牛栏 
            have[v[x][i]]=x; //占下该牛栏 
            return true; 
        }
    }
    return false;
}

一定要记得判段重复啊（笔者就在这上面被坑了，直接死循环爆栈）

OK，这就基本结束啦~o(*￣▽￣*)o

最后照例奉上完整程序和精心设计的注解

//Luogu P3386 [普及+/提高] - 二分图最大匹配 
//https://www.luogu.com.cn/problem/P3386
//匈牙利算法 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int have[505]={0}; //记录牛栏的主人 
int vis[505]; //标记已访问 
vector<int> v[505]; //存放牛喜欢的牛栏 

bool DFS(int x){
    vis[x]=1; //标记已访问过该点
    for(int i=0; i<v[x].size(); i++)
        if(have[v[x][i]]==0){ //如果有喜欢的牛栏是空的 
            have[v[x][i]]=x; //占下该牛栏 
            return true;  
        }
    //否则没有喜欢的牛栏是空的 
    for(int i=0; i<v[x].size(); i++){ //依次访问喜欢的牛栏的现主人,请求其腾出牛栏 
        int temp=have[v[x][i]]; 
        if(vis[temp]!=0){
            continue; //与上面的vis[]相呼应，用于避免重复访问从而进入死循环 
        }
        if(DFS(temp)){ //如果能腾出牛栏 
            have[v[x][i]]=x; //占下该牛栏 
            return true; 
        }
    }
    return false;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    //freopen(".in","r",stdin);
    //freopen(".out","w",stdout); 
    
    int N, M, E;
    int ans=0;
    cin >> N >> M >> E;
    
    for(int i=1; i<=E; i++){
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        v[a].push_back(b);
    }
    
    for(int i=1; i<=N; i++){
        for(int j=1; j<=N; j++)
            vis[j]=0; //vis[]记得每次都要清零 
        if(DFS(i))
            ans++;
    }

    cout << ans;
    
    return 0;
}

最后的最后，有问题欢迎在下方评论区提出呀~