Leetcode-分治

mhxin

50. Pow(x, n)

实现 pow(x, n) ,即计算 x 的 n 次幂函数。

示例 1:

输入: 2.00000, 10
输出: 1024.00000

示例 2:

输入: 2.10000, 3
输出: 9.26100

示例 3:

输入: 2.00000, -2
输出: 0.25000
解释: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

说明:

-100.0 < x < 100.0
n 是 32 位有符号整数,其数值范围是 [−231, 231 − 1] 。

题目难度: Midium

思路1: 二分 + 递归

首先看到题目,最直观的想法就是一次遍历,每次都乘上x。时间复杂度为$O(n)$, 空间复杂度为$O(1)$.
$f(n)=f(n-1)*x$

通常而言,最暴力的方法不会是效率最高的方法, 这题也不例外。比如

$$\begin{align}2^4=2^2*2^2 \\ 2^5=2^3*2^2\end{align}$$

我们其实并不需要计算$2^1$一直到$2^n$. 因此可以得到一个更高效的计算公式
$$x^n=\begin{cases} x^{\frac{n+1}{2}}*x^{\frac{n-1}{2}}, if(n\%2!=0)\\ x^{\frac{n}{2}}*x^{\frac{n}{2}}, if(n\%2==0)\end{cases}$$


def myPow(x -> float, n -> int) -> float:
    if n == 0:
        return 1
    
    flag = 1 if n > 0 else -1
    n = abs(n)
    
    def helper(x, n):
        if n == 0:
            return 1
        
        # 如果是奇数
        if n % 2:
            res = helper(x, (n-1) // 2)
            return res * res * x
            
        # 如果是偶数
        res = helper(x, n // 2)
        return res * res
        
    return helper(x, n) if flag > 0 else 1. / helper(x, n)
        

时间复杂度: $O(log(n))$, 空间复杂度:$O(log(n))$.

思路2
二分 + 迭代


def myPow(x -> float, n -> int) -> float:
    if n == 0:
        return 1
    
    flag = 1 if n > 0 else -1
    n = abs(n)
    
    res = 1.
    ans = x
    while n > 0:
        if n % 2:
            res *= ans
            
        ans *= ans
        n //= 2
        
        
    return res if flag > 0 else 1. / res
        

时间复杂度为$O(log(n))$, 空间复杂度为$O(1)$

相比于第二种思路, 个人觉得第一种思路更容易理解, 但需要额外的空间复杂度。 方法二, 想了很久还是不能完全理解。

53. 最大子序和

给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。
进阶:

如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法,尝试使用更为精妙的分治法求解。

这道题是一个比较典型的动态规划问题, 既然是动态规划问题, 那就需要明确选择和状态

状态: $f(n)$表示以nums[n-1]结束的最大子序列和.

选择: 是否选择元素作为最大和的连续子数组的元素。

状态转移方程:

$$ f(n) =\begin{cases} f(n-1) + nums[n-1], &if (f(n-1) + nums[n-1]>nums[n-1])\\ nums[n-1],&else\end{cases} $$

通俗一点来理解就是,如果当前的元素不能使最大子序和变大,则将已有的子序列舍弃。

基于状态转移方程, 可以写出如下代码

def maxSubArray(nums):
    if not nums:
        return 
    n = len(nums)
    
    b = nums[0]
    res = b
    for i in range(1, n):
        b = max(b+nums[i], nums[i])
        res = max(res, b)
        
    return res

思路2

分治法

最大子序和可以有3种情况

  1. 最大子序和出现在数组的左半部分
  2. 最子子序和出现在数组的右半部分
  3. 最大子序和跨越数组的左半部分和右半部分

最后的最大值为左半部分的最大值右半部分的最大值跨越左半部分和右半部分的最大值之间的最大值

def maxSubArray(nums):
    if not nums:
        return
    
    n = len(nums)
    
    if n == 1:
        return nums[0]
    
    # 左半部分的最大值
    max_left = maxSubArray(nums[:n//2])
    
    # 右半部分的最大值
    max_right = maxSubArray(nums[n//2:])
    
    # 计算中间的最大子序和
    
    # 从右到左计算左边的最大子序和
    max_l = nums[len(nums) // 2 - 1]
    tmp = 0
    for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
        tmp += nums[i]
        max_l = max(tmp, max_l)
        
        
    # 从左到右计算右边的最大子序和
    max_r = nums[len(nums) // 2]
    tmp = 0
    for i in range(len(nums) // 2, len(nums)):
        tmp += nums[i]
        max_r = max(tmp, max_r)
        
    #返回三个中的最大值
    return max(max_right,max_left,max_l+max_r)

时间复杂度为$nlog(n)$, 空间复杂度为$O(log(n))$

169. 多数元素

给定一个大小为 n 的数组,找到其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数大于 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。

你可以假设数组是非空的,并且给定的数组总是存在多数元素。

示例 1:

输入: [3,2,3]
输出: 3

示例 2:

输入: [2,2,1,1,1,2,2]
输出: 2

最简单, 最直接的想法就是排序, 去最中间的数即可, 对应的复杂度就是排序的复杂度。时间复杂度为$O(nlog(n))$, 空间复杂度为$log(n)$

思路1
分治

根据题目对众数的定义, 如果将数组划分为左右两部分,那么数组的众数必然是其中一个部分的众数。


def majorityElement(nums):
    if not nums:
        return 
    
    
    def helper(low, high):
        if low == high:
            return nums[low]
        mid = (low + high) // 2
        
        
        left = helper(low, mid)
        
        right = helper(mid, high)
        
        if left == right:
            return left
        
        # 统计左半部分的众数出现次数
        cnt_left = sum([1 for i in range(low, high+1) if nums[i] == left])
        
        # 统计右半部分的众数出现次数
        cnt_right = sum([1 for i in range(low, high+1) if nums[i] == right])
        
        #
        return left if cnt_left > cnt_right else riht
    
    return helper(0, len(nums)-1)
            
        
        

时间复杂度为$O(nlog(n))$, 空间复杂度为$O(log(n))$

思路2

投票

维护一个众数得分, 只有当当前众数的得分等于0时, 修改众数

def majorityElement(nums):
    if not nums:
        return 
        
    score = 1
    candidate = nums[0]
    for n in nums[1:]:
        if score == 0:
           candidate = n
        
        if n == candidate:
            score += 1
        else:
            score -= 1
            
    return candidate    
            

时间复杂度为$O(n)$, 空间复杂度为$O(1)$

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