(作者注:Segmentfault
里文章的数学公式有BUG
,预览时是好好的,文章发出来就都显示有问题,如果你们看的时候也有问题的话,可以移步http://www.dubingxuan.com/article/8/)
0. 序
上一篇谈谈二进制(一)中,我们花了巨量的篇幅,从最基本的计数开始,认识了各种进制的原理,接着通过对我们最熟悉的十进制的分解组合,推演了其他进制和十进制之间的相互转换过程。
本篇将继续深入二进制,来探究一下二进制的四则运算过程,也就是加、减、乘、除,看看二进制和十进制在计算上又有多少差异。
1. 加法
1.1 整数
加法一般是四则运算中首先被提及的,它是计数这一基础行为的延申,从一个一个地累加,延申到一堆一堆地相加,使计数这一行为提升了一个维度。按照上一篇文章的推演逻辑,我们依然从十进制开始,首先探究一下十进制的加法。
我们取两个十进制数:62
和185
,我们用简单的口算就能算出来他们俩的和是247
,但这个运算过程是怎么样的呢?我们仔细想一下刚才在计算时大脑的计算过程,然后来看看小时候初学加法时用到的竖式表达式:
从上式中我们可以看到,这个加法的整个过程其实分为了四步:
- 个位相加,得到的结果没有进位,依然是个位;
- 十位相加,
6 + 8 = 14
,进位了,因为是十位的相加结果,所以进到百位上,因此十位上结果是4
,百位上是1
; - 百位相加,这里百位只有
185
的1
,62
的百位是0
,所以是0 + 1 = 1
; - 最后,把上面三步得到的结果再进行相加,数字不存在的空白处都看作是
0
,最终得到了247
这个结果。
总结上面十进制的加法过程,其实就是两个数字从低位开始相加,如果有进位,就将进的位数加到下一位的计算结果上,然后重复这个过程,直到两个数字的所有位数遍历完成。
在上一篇文章中我们提到过,不同进制之间的区别几乎仅仅是进位方式的区别,所以上面这套加法法则在十进制数上成立,那么在二进制上自然也是成立的。我们取两个二进制数字101
和1110
,把它们相加:
得到了10011
这个结果,我们将三个二进制转化成十进制验证一下:1110 = 14
,101 = 5
,10011 = 19
,完全正确。
当我们熟悉了二进制的计算过程后我们会发现,其实二进制的加法计算要比十进制更简单,因为二进制的最低位的计算只有三种:1 + 0 = 1
、0 + 0 = 0
、1 + 1 = 10
,比十进制要少得多,毕竟二进制一共也只由0
和1
两种数字组成。
1.2 浮点数
上面说的例子是整数的运算,精通十进制计算的我们知道,在十进制的计算中,小数的加法和整数大同小异,依然是从最右边开始相加,往左边进位,直到整个数字的位数遍历相加完毕,譬如:5.875 + 3.75 = 9.625
。十进制是如此,二进制也不例外,我们把上式中的前两个数字换成二进制:5.875 = 101.111
,3.75 = 11.11
,然后把这两个二进制浮点数相加:
注意,带小数的计算,我们需要将小数点对齐。经过计算,101.111 + 11.11
得到的结果1001.101
对应的十进制数正是9.625
。
2 减法
讲完了加法,下面来看减法。众所周知,减法是加法的逆运算,并且减法的运算也依然是从最右边开始,逐渐往左。由于是加法的逆运算,我们需要注意的是,在减法中,没有进位,取而代之的是退位。我们直接来看上面加法部分的最后一个式子101.111 + 11.11 = 1001.101
的减法逆运算:
上面的竖式就是1001.101 - 101.111
的过程了,式中的每一步我都直接计算了退位。这个式子比较特殊,它除了右边第一位外,一路往左全部都在做退位计算,所以整个竖式看起来有点诡异。但总之,我们得到了11.11
这个结果,和上文中的加法吻合。
关于减法还有一点,就是减数>被减数的情况,我们知道,这种情况的结果为负数,而我们在计算的时候,其实只需要把不存在的位数都用0
去替换,该怎么退位怎么退位就行了,这里就不再展开。
3 乘法
3.1 整数
从加减到乘除,我们的计算又提升了一个维度,而乘法实际上也是加法的进阶,所谓乘,其实就是倍数,也就是几个几相加,如4 × 3
,实际上就是4
个3
或者3
个4
相加。
还是先来看十进制,取两个数:84
,57
,我们用竖式来看一下他们的运算过程:
嗯,看上去比加减法复杂多了。但仔细观察我们就会发现,每一行数字其实就是两个因数上各个数字遍历相乘的结果,唯一要注意的,就是相乘后所在的位置,我们逐行来看。
首先第一行,4 × 7 = 28
,这个没有任何问题,4
和7
都是个位数,也就是\(10^0\)位置上的数,因此它们之间相乘,就是两个个位数相乘,结果的最低位在个位上。然后是第二行,这里的56
是7 × 8
的结果,但实际上,式中的8
并不是8
,而是80
,是十位(\(10^1\))上的数字,因此它和个位上的7
相乘,得到的应该是560
,而我们在式中把0
给省略了。或者换一种角度,56
这个数字最低位所在的位数,实际上是8
的位数和7
的位数相乘的结果:\(10^0times10^1=10^1\),因此56
就被写到了\(10^1\)的位置上,如果把个位看作是第0
位,那么56
所在的十位就是第1
位。
下面一行的20
和上面56
一样。
最后一行,40
,经过前面的分析我们知道,它其实是50
和80
相乘的结果,后面两个0
省略了。但为了下面二进制讲解时方便,我这里更愿意使用所在位数来解释,也就是\(10^1times10^1=10^2\),也可以直接指数部分相加1 + 1 = 2
,所以40
就被写在了从0
数起的第2
位上。
最后把上面四行所得的数字按照位置相加,不存在的地方用0
补充,就得到了最终结果4788
。
再来看二进制,实际上二进制的乘法要比十进制省事儿得多,原因和加法一样,因为二进制只有0
和1
两个数,因此它的基础乘法计算只有三种:0 × 0 = 0
,0 × 1 = 0
,1 × 1 = 1
,连进位都省了,全是一位。
我们取两个二进制整数110(6)
和101(5)
,来看看它们相乘后的结果:
由于二进制的基础乘法实在太简单,我这里没有像上面十进制一样,遍历每个数字相乘,而是将第一个因数110
看作一个整体,将第二个因数101
的三个数拆开,分别去乘110
,所以我们看第一行结果110
,是1 × 110 = 110
,由于1
在第0
位,所以结果也写在第0
位。
接着是第二行,0 × 110 = 000
。这个0
在101
的\(2^1\)所在的位置上,也就是第1
位,而看做整体的110
的最低位为\(2^0\),也就是第0
位,因此他们相乘的积也写在第0 + 1 = 0
位。
第三行,1 × 110 = 110
。1
在第2
位,所以结果写在第0 + 2 = 2
位。
最终把上面三个数相加,就得到了11110
,也就是30
,正好是5 × 6
的结果。
3.2 浮点数
完成了整数的乘法后,我们来看小数带小数的乘法,鉴于二进制实在是太好算了,我们跳过十进制,直接来到二进制的例子。取两个数,1.01(1.25)
,11.1(3.5)
,来看他们的竖式计算:
这里我们同样将第二个因数11.1
拆开,将第一个因数1.01
看做一个整体来计算,得到了最后的结果100.011(4.375)
。这个浮点数相乘的式子里,我们同样要注意,并且特别注意位数的问题。
首先第一行,我们看到被我们看做整体的第一个因数1.01
的最低位为\(2^{-2}\)位置上,即-2
位,而与之相乘的0.1
在-1
位上,因此,第一行相乘的结果我们要写在第-1 + -2 = -3
位上,所以它整个都在小数点后面。以此类推,第二行和第三行分别把结果最低位写在了-2
和-1
位上。最后把三个结果相加,不存在的位置用0
补充,就得到了最终结果。
整体而言,二进制的乘法要比十进制的乘法简单的多得多,这回我们连九九乘法表都不用背了。
4 除法
除法是乘法的逆运算,但相对于加法的逆运算减法来说,除法就相对要复杂一些了。我们还是先从十进制开始,但这次就不区分整数和小数了,直接从浮点数开始。
取两个十进制数,被除数185.65
,除数2.5
,我们来计算\(185.65div2.5\)的结果:
选的数字有点大,整个计算过程有点长。这里有几个点我们需要注意:
- 在计算带小数的除法时,我们会习惯先将除数(
2.5
)变成整数,也就是除数和被除数同时乘\(10^n\),这里两个数在除之前都先乘了10
:\(185.65times10div(2.5times10)\),使2.5
变成了25
。这样做可以方便计算,原因就是前文乘法中我们强调过很多次的位数问题,因为在除法的过程中也涉及乘法,即被除数=除数×商
,如果我们把除数的小数点去掉了,那么除数的最低位变成了第0
位,我们在计算时就会方便很多,不用担心位数搞错的问题。 - 除法在计算时,从最高位开始计算,以被除数为基准数,每一位上的数除以整个除数,若当前的数小于除数,则结果为
0
,并将当前计算的数减去0
后与下一位相结合(作为下一位的高一位)成新的数字,再除以整个除数。如上式中第一步和第二步,结果都是0
,然后把两步的结果与下一位结合,变成185
,此时可以除以25
,25 × 7 = 175
,185 - 175 = 10
,然后下一步将这个10
和被除数的下一位6
结合,得到了106
。上式的计算过程部分中,所有商与除数相乘的结果都是红色字,新的每一步的被除数都是黑色字。这样一直计算,直到最后剩下的结果为0
,我们就得到了最终的商,上式中写在被除数上方的74.26
。
上面我文字写的有点绕,但其实只要我们大概回忆一下十进制的除法,通过上面这个式子,就能看明白是怎么回事了。
二进制同理,我们取两个二进制数11.11(3.75)
,10.1(2.5)
,来看一下\(11.11div10.1\)的结果:
过程和上面十进制一样,最终我们得到了1.1(1.5)
这个结果。
5 结尾
其实在原本的计划中,这篇(二)里还打算把二进制的位运算给放进来,这样凑成一个完整的运算
篇。但吃了上一篇文章篇幅过长的教训后,觉得还是先不写运运算了,在下一篇专门来讲运运算,以节省篇幅,提升一点阅读体验。
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