谈谈二进制（三）——位运算及其应用

0. 概要

前两篇文章我们了解了二进制的基本原理（谈谈二进制（一））以及二进制的四则运算（谈谈二进制（二）），本篇我们一起来看看二进制的位运算。

先来看一下有哪些位运算：

上表中列出了我们编程语言中的所有位运算符以及它们对应的规则。在前面的文章中我们讲过，二进制的1和0对应了电子元器件中的高低电平，或是开和关，而实际上，1和0也可以代表逻辑中的真与假。因此，上表中的前三个运算符其实也是逻辑运算符，而它们在逻辑运算中的规则，和二进制位运算基本一致，我们会在文中提及时做一些说明。

1. 位运算

所谓位运算，指的是直接对二进制的位进行的运算，它只针对二进制的每一个位，所以它与前面我们讲的四则运算的最根本的区别是：位运算没有进位。

注意了，本篇文章所谈的位运算，都是针对二进制的运算，虽然我们可以将这些运算符直接作用在十进制数上（代码中），但它背后的计算过程却是针对该数对应的二进制数的。

我们一个一个来看。

1.1 与

与运算，运算符号是&。首先，与运算是一个二元运算，什么意思呢？就是像我们的加减乘除四则运算一样，与运算也需要两个数进行运算，然后生成第三个数，譬如：A & B = C。

与运算的规则正如上面表格中所说，参与运算的两个数的每个对应位上的数，如果都为1，则结果也为1，否则为0。解释一下，假如我们有两个只有一位的最简单的二进制数，那么它们之间进行与运算的结果只有如下三种：1 & 1 = 1，1 & 0 = 0，0 & 0 = 0。嗯，至少在这组运算中，看上去是不是很像乘法？实际上前面我们也说到了，位运算表格中的前三个运算符也是逻辑运算符，这里我们把1看做真，0看做假，则这三个运算结果就变成了逻辑运算的结果，&所代表的与，其实就是且。真且真，其结果才能为真，否则都为假，也就是0了。

上面说的是一位二进制的运算情况，也顺带提了一下逻辑运算，那么多位的二进制数之间的与运算又是怎样的呢？其实就是把两个数的每一位都与对方做一个与运算，最后把结果按位排列起来就行了，竖式如下：

上面两个数分别对应十进制的5和7，我们可以用代码去验证一下：

print(5&7)    # 5

这就是二进制的与运算，是不是非常简单？其实早在前面讲四则运算的时候我们就已经发现，二进制的运算真的非常简单，而今天我们看到的位运算，甚至连进位都省了，真的是……简单。

1.2 或

紧接着，或运算，运算符为|，同样是二元运算。它和上面的与运算的运算方式一致，也是两个数的每一位与对方的对应为进行运算，运算规则唯一不同的地方就是，或运算只需要其中一个数为1，结果就为1。即两个一位二进制数之间的或运算的结果有如下三种：1 | 1 = 1，1 | 0 = 1，0 | 0 = 0。同样的，或运算也是一种逻辑运算，这里就不再展开了，我们直接来看例子，还是5和7：

结果是7，我们同样用代码去验证一下：

print(5|7)    # 7

非常简单。

1.3 异或

异或运算，运算符为^，也是一个二元运算，运算方式同前面两个运算一样，规则方面：对应位的两个数不同时为1，否则为0。它的运算规则一部分和或运算类似，只要两个数中有一个是1，结果就可以是1，但必须是相异的两个数。这大概就是它异或这个名字的来源。

依然是5和7，我们来看一下结果：

结果是10，也就是2，验证一下：

print(5^7)    # 2

记得，异或就是不相同时为1，相等为0，也就是判断两个对应数字是否不相等。同时，异或也是一个逻辑运算符，运算规则同理。

1.4 取反

取反运算，符号为~。这个运算就稍微有点特殊了，首先，它是一种一元运算，也就是它只对一个数进行位运算，然后形成结果；其次，取反运算还涉及到了补码、反码、原码之类的问题。

我们先来看它的规则：二进制每一位数取反，即0变1，1变0。看上去非常简单对吧？我们来按照我们初步理解的规则试一下：

（注意，上面这个答案是错误的。）

我们对101（5）取反得到了010也就是2，然后用代码验证一下：

print(~5)    # -6

结果是-6！好奇怪，我们再用C++试一下：

#include "iostream"

int main(int argc, char** argv) {
    int number;
    number = 5;
    std::cout << ~number;
    return 0;
}

// -6

结果依然是-6！

正如前面所说，按位取反运算涉及到了补码之类的骚操作，而这些内容不在本篇文章的涉及范围内，将会在下一篇二进制文章中讲解，因此这里不做详细展开，只大概解释一下：

上面我们用到的int型的整数都是有符号数，而计算机在存储有符号数时均使用二进制补码，而补码这个东西，简单说会在高位（数字自身的二进制范围以外）表示数字的正负，其中0表示正，1表示负，因此我们在做按位取反操作后，原数字不仅仅是自身按位取反，高位上的我们看不见的部分也取反了，所以5变成-6，就是从正数变成了负数。那为什么是-6（-110）呢？这个就涉及到负数补码的运算过程了，等我们下一篇讲到的时候再提。

总之我们记住，按位取反的结果就是原数取负值后再减一。譬如上面的5变成-6，就是5 × (-1) - 1 = -6，同样的，我们如果对-6取反，会得到-6 × (-1) - 1 = 5。

以上就是按位取反，细心的朋友可能注意到了，这里其实还有个小问题，上面提到的按位取反变成负数，是因为补码，而补码的高位会用1和0表示正负，那么如果对一个无符号整型做取反呢？我们来试验一下：

#include "iostream"

using namespace std;

int main(int argc, char** argv) {
    unsigned int five;
    five = 5;
    cout << ~five;
    return 0;
}

// 4294967290

对于一个无符号数5取反后得到了4294967290，看上去有点像溢出了，但实际上，4294967290这个数等于$2^{32}-6$，这两个数，用32位二进制数表示，分别是这样的：

0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0101    // 5
1111,1111,1111,1111,1111,1111,1111,1010    // 4294967290

整个32位都对上了，这回是真·按位取反了。这是无符号数的特殊性，却更符合我们的直觉。而$2^{32}-6$中的这个-6很凑巧，正好是有符号数5的取反结果，实际上我们如果用更多的数去试，会发现这并不是凑巧，而是确确实实的规律。等到我们讲到补码的时候，就明白是怎么回事了。

1.5 左移

好了，最麻烦的一个运算讲完了，接下来是两个互为逆运算的运算，先来看看左移运算。

左移运算，符号为<<，是一个二元运算。运算规则是，二进制所有位全部左移若干位，若高位溢出，则丢弃，低位补0。很多人第一次看到这个运算的时候会很懵，不知道它到底要干嘛，什么叫左移若干位？其实它的运算规则也很简单，我们举一个例子来看，还是101（5）好了，我们来计算一下101 << 1的结果，这个式子的意思是，101这个数左移1位。

我们注意观察1010这个结果，看上去是不是就像，在101的后面（右边）加了一个0？嗯，没错，这个直觉是对的，101 << 1就是在101的后面加了一个0。那为什么叫左移呢？我们来把上面的竖式稍稍做一些改动：

我们在101的右边加了一个基准线，然后当我们做101 << 1时，以这根线为准，整个101向左移动了1位，最后在101和基准线之间添加一个0，得到了1010这个结果。这就是左移的原因了，虽然看起来像是在原数的右边加了0，其实是整个数字以一根看不见的线为基准，向左移动了n位。因为右边是低位，所以低位补0，而高位如果超过了表示范围，发生了溢出，就直接丢弃。

解释完了运算规则，我们再来看看101 << 1的结果1010，这个数字的十进制是10，正好是101（5）的2倍，那如果我们继续左移呢？也就是101 << 2 = 1010 << 1 = 10100，这个10100（20）又是10的2倍，5的4倍。

print(5<<1)    # 10
print(5<<2)    # 20

看来我们发现了一个规律：二进制每左移运算一位，则结果是原来的2倍。所以如果左移n位，得到的结果就是原来的$2^n$倍。

这是个很显而易见的规律，但许多人在刚接触左移，二进制的时候，不是很理解，为什么是2的倍数？因为……这是二进制，嗯，就么简单。好吧，我再举一个例子，相信不懂的朋友们看了这个例子就明白了。

我这里创造一个运算符<-（我不知道实际上有没有这样的运算符），假设它的作用和<<一样，也是左移，但作用于十进制数字，运算规则和<<一模一样。接着我们来计算5 <- 1，按照左移运算的规则，5向左移动一位，低位补0，结果就是50。看到了吗？这个结果是5的10倍！也就是我们平时常说的，在什么什么数字后面加个0。十进制，所以倍数是10，二进制，所以倍数是2，这一点相信看过我前面文章【谈谈二进制（一）】的朋友们一定不会陌生。同理，如果在八进制数后面添一个0，结果会是原数的8倍，十六进制就是16倍。

左移运算其实帮我们又进一步地理解了进制。

1.6 右移

说完了左移，接着是右移。右移是左移的逆运算，也就是原数右边（和上面左移相同位置）以一根线为基准，整体向右移动n位，低位，也就是移动到基准线右边的数字则被丢弃。

譬如101 >> 1 = 10，所以5 >> 1 = 2。我们知道，整数的除法计算时会舍去小数部分，因此5 / 2 = 2，则右移是除以$2^n$这个规则也成立。

2. 位运算的应用

2.1 代码库中的应用

很多人觉得二进制位运算这个东西学了没用，因为平时写代码也用不到。但实际上，二进制位运算在一些代码库中非常常见，它常被用于设置一些标识（flag），做一些定制化的设置工作。举几个例子，最近在用做Go语言做项目，Go语言标准库中的log和文件打开操作都用到了二进制的位运算：

package main

import (
    "log"
    "os"
)

func main() {
    f, _ := os.OpenFile("filename", os.O_WRONLY|os.O_CREATE, 0666)
    defer f.Close()
    log.SetFlags(log.Ldate|log.Lshortfile)
}

它们的用法一致，都是用或运算来设置标志位。除标准库外，很多第三方库也用到了二进制的位运算，譬如Go语言的一个用来做定时任务的第三方库cron（https://github.com/robfig/cron）中用来解析Crontab表达式的部分，就用到了和上面标准库中类似的方法。具体细节就不展开讲了，大家有兴趣的可以去看一下它们的源码。

2.2 算法应用

上面说的几个都是在代码库中的应用，因为涉及源码细节比较多，限于篇幅没有展开。这里介绍一个实际的算法例子，来看一下二进制的位运算在解决实际问题时的具体细节。

leetcode第287题Find the Duplicate Number（寻找重复数），这题有很多种解法，其中就可以使用二进制的位运算来设置标志位，从而解决问题。我先把原问题的中文版题目贴上来：

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums，其数字都在 1 到 n 之间（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。假设只有一个重复的整数，找出这个重复的数。

示例 1:
输入: [1,3,4,2,2]
输出: 2

示例 2:
输入: [3,1,3,4,2]
输出: 3

说明：
1. 不能更改原数组（假设数组是只读的）。
2. 只能使用额外的 O(1) 的空间。
3. 时间复杂度小于 O(n2) 。
4. 数组中只有一个重复的数字，但它可能不止重复出现一次。

来源：力扣（LeetCode）
中文链接：https://leetcode-cn.com/problems/find-the-duplicate-number
英文链接：https://leetcode.com/problems/find-the-duplicate-number/

然后是代码：

class Solution:
    def findDuplicate(self, nums: List[int]) -> int:
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        base = 0
        for i in nums:
            if base == base | (1 << i):
                return i
            base |= (1 << i)

我直接把leetcode上提交的代码拿上来了，所以保留着leetcode上的格式。在解析这段代码之前，有些情况我要先说明一下，其实这段代码并没有完全符合题干中的要求，题干说明2.要求我们只能使用额外O(1)的空间，但上面的代码其实使用了O(n)的空间，因为for循环中每一次循环都计算产生了一个1 << i。当然，这段代码可以通过leetcode，而且这个小问题并不影响我们今天的主题，二进制位运算，所以可以暂时忽略它。大家也可以想一想，有没有什么办法可以改造一下这段代码，让它只使用O(1)的空间呢？

我们来看代码，首先，我们设一个基准值base = 0，然后开始遍历传入的数字列表nums，接着是一个判断语句，它很重要，但我们先略过它，来看代码的最后一句base |= (1 << i)。这句什么意思呢？我们拆解一下来看。

它是让base与另一个数进行或运算得到一个新的base，而base或运算的对象是1 << i，我们知道，i是num中循环的元素，所以1 << i得到的二进制结果会是一个1加上i个0，譬如1 << 3，结果就是1000（3个0）。这种后面全0的二进制数，其实就是在告诉我们它的位置，1000就是说当前循环到的3这个值，它的位置在第三位（右边低位数起）。

我们将这个左移运算后的结果与base相或后，得到一个新的值，因为base一开始是0，按照或运算的规则，0与任何数相或，都是那个数自己。所以，结合上面解析的左移运算结果的意义，这个或运算的目的，是nums列表中的元素在占位，先来先到：如果我前面没有跟我一样的元素，则我就占到了属于我的位置上。那如果前面已经有了呢？那么它在位移运算后再与base相或，得到的值依然是base的原值，也就达到了刚才被我们略过的那句判断if base == base | (1 << i)的触发条件，也就找到了那个重复的数。

为什么呢？这依然是或运算的规则导致的，1 | 1 = 1，刚才我们说到，1 << i的意义是声明位置，属于我的位置就是1，如果前面有了一个和我相同的元素，则那个位置在我来之前就被占而置为1了。这时，我如果再和base进行或运算，那个属于我的位置在运算后还是1，base没有任何改变，因此if语句的条件就成立了。

譬如一个列表[3, 1, 3]，第一个数是3（1 << 3 = 1000），第一次if判断为False，base自或运算，得到base = 1000；

第二轮是1（1 << 1 = 0010），与base或运算后为1010，不等于base的当前值1000，判断为假，计算后赋值base = 1010；

第三轮是3（1 << 3 = 1000），与base或运算后得到1010 | 1000 = 1010，而base的原值也是1010，于是if语句被触发，我们找到了这个重复的值3。

这就是这一题二进制位运算解法的详尽算法思路，其实在我们理解了位运算后，这种思路很容易就能理解，它的核心就是一个占位。有了这种思维后，我们再去看2.1章节中提及的那些代码库的二进制算法，相信也会容易了很多。

结尾之前，这里要再提一个东西。上面这段代码，其实有一个看上去像BUG的地方：如果base的或运算对象是0呢？那不就也等于自身了吗？嗯，首先，题目中给的数字是1到n之间，所以一定是正整数，那么1 << i的结果就不可能为0。实际上，即使i为0，这个结果也不可能为0，而是1。按照位移运算的规则，只有1右移运算后，结果才能为0。那如果左移负数个单位呢？很遗憾，左移不支持负值，会报错：

print(1 << -1)

# ValueError: negative shift count

3. 结尾

这一篇文章我们了解了二进制的按位运算，并且用一个leetcode原题的例子讲解了二进制位运算的应用。在下一篇，我们就要进入让很多初学二进制的人们非常头疼的补码、反码之类的世界了。