【图论】拓扑排序

前言

在正文开始前，我们先来了解一下有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)

如下图就是一个DAG图，DAG图是我们讨论拓扑排序的基础。

AOV网：数据在顶点可以理解为面向对象
AOE网：数据在边上，可以理解为面向过程！

1. 什么是拓扑排序

拓扑排序（Topological Order），很多人听说过，但是不了解的一种算法。或许很多人只知道它是图论的一种排序，至于干什么的不清楚。又或许很多人可能还会认为它是一种啥排序。

而实质上它只是将DAG图的顶点排成一个线性序列，得到一个顶点的全序集合。其排序的顺序依据就是节点的指向关系。比如前言的DAG图：

...
节点5在节点4和节点3的后面
节点9在节点6和节点7的后面
...

那么最后得到的节点的线性序列结果,也一定要满足上面的指向顺序。

每一个节点都拥有入度（有多少点导向它，也就是开始它有多少前提）和出度（它导向多少点，也就是它是多少其他节点开始的前提）。例如节点5的入度为3和4，出度为7。

拓扑排序的结果不是唯一的，只要符合上面的条件，那么它就是拓扑序列，比如1 2 4 3 6 5 7 9和2 1 3 4 5 6 7 9，这两个结果都是可行的。

官方一点的定义：将有向图中的节点以线性方式进行排序。即对于任何连接自节点u到节点v的有向边uv，在最后的排序结果中，节点u总是在节点v的前面。

2. 现实案例

看了上面关于拓扑排序的概念如果还觉得十分抽象的话，那么不妨考虑一个非常非常经典的例子——选课。

假设我非常想学习一门《jsp入门》的课程，但是在修这么课程之前，我们必须要学习一些基础课程，比如《JAVA语言程序设计》，《HTML指南》等等。那么这个制定选修课程顺序的过程，实际上就是一个拓扑排序的过程，每门课程相当于有向图中的一个顶点，而连接顶点之间的有向边就是课程学习的先后关系。

只不过这个过程不是那么复杂，从而很自然的在我们的大脑中完成了。将这个过程以算法的形式描述出来的结果，就是拓扑排序。

可以看到，上图中的学习顺序，就是拓扑序列，其不止一个结果。

拓扑排序算法在工程学中十分重要。

节点成环的图，无法被拓扑排序，因为这在工程上本身没有意义，比如A——>B——>C——>A，那么这个工程永远无法被开始。

3. 算法实现

拓扑排序的最优时间复杂度是O(m+n),其中m和n是DAG图中节点数和边数。因为拓扑排序至少要对DAG图的节点和边进行一次完整的遍历。

拓扑排序的最优空间复杂度是O(m+n),其中m和n是DAG图中节点数和边数。我们一般使用邻接表来存储DAG图，因此空间复杂度是O(m+n)。

3.1 广度优先搜索法（BFS）

3.1.1 BFS实现拓扑排序

广度优先搜索法的思路很简单：

从DAG图中找到入度为0的节点A（也就是没有箭头指向它的节点），将其放入拓扑序列的结果集。
同时删除由节点A出发的所有边。
在剩下的DAG图中重复1-2两步。
如果最后可以把全部的节点都删除并加入到结果集，那表示DAG图可以被拓扑排序；否则，如果最后有节点被剩下，那说明该图是有环图，无法被拓扑排序。

如下图

3.1.2 BFS实现拓扑排序的优化

如果有时候，我们只需要知道某个DAG图是否可以拓扑排序，而不需要真正得到拓扑排序后的结果，那么可以不需要结果集列表，只需要统计被删除的节点的数量即可，如果该数量等于DAG图的节点数，那么DAG图可以被拓扑排序。

3.2 深度优先搜索法（DFS）

3.2.1 DFS实现拓扑排序

深度优先搜索法是广度优先搜索法的逆向思路，它的步骤如下：

选取图中任意一个节点A，将其状态标记为“搜索中”
寻找节点A的邻接点（沿着箭头指向寻找相邻的节点）
1. 如果A存在邻接点
  1. 如果A的邻接点中存在状态为“搜索中”的邻接点，那么表示DAG图有环路，不可拓扑排序。
  2. 否则，那么任意选择一个状态为“未搜索”的邻接点B，使用递归对B重复做1和2操作，注意此时B的邻接点判断不包含来路（也就是A节点）。等到A的所有邻接点都被搜索到，递归回溯回A节点的时候，那么A节点也会被标记为“已搜索”，并压入结果栈。
2. 如果A不存在邻接点，那么将节点A的状态改为“已完成”，并且将其压入一个结果集的栈中。
A节点及其相邻节点都搜索完毕后，如果还有未搜索的节点，那么任意选取一个节点当做出发点，继续重复1,2,3步骤。
直到所有的节点都被搜索并压入栈，那么此时结果栈中，从栈顶到栈底的顺序，就是拓扑排序的顺序。

3.2.2 DFS实现拓扑排序的优化

如果有时候，我们只需要知道某个DAG图是否可以拓扑排序，而不需要真正得到拓扑排序后的结果，那么可以不需要结果栈，只需要判断整个深度优先搜索过程，没有发生“搜索中”节点的相邻节点（不包含来路的节点）也是“搜索中”就行。